L 149 - 2024-25 - Endeligt svar på spørgsmål 27: Spm. om, hvilke forudsætninger ligger til grund for regeringens beregninger om at kunne vurdere hvem og hvor mange, der trækker sig tilbage på folkepension i 2130

Beskæftigelsesudvalget 2024-25
L 149
Offentligt

Danmarks fremtidige befolkning

Befolkningsfremskrivning 2013

Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Juli 2013

L 149 - 2024-25 - Endeligt svar på spørgsmål 27: Spm. om, hvilke forudsætninger ligger til grund for regeringens beregninger om at kunne vurdere hvem og hvor mange, der trækker sig tilbage på folkepension i 2130

Side 2 af 132

Indholdsfortegnelse

Indledning ........................................................................................................ 6

1.1

1.2

1.2.1

1.2.2

1.2.3

1.2.4

1.2.5

1.2.6

1.2.7

Opbygningen af befolkningsmodellen .................................................... 8

Vitale begivenheder ................................................................................ 9

Dødsfald .............................................................................................. 9

Estimation af dødelighed .................................................................... 9

Fødsler ............................................................................................... 10

Estimation af fertilitet ....................................................................... 10

Immigration ....................................................................................... 12

Emigration ......................................................................................... 14

Naturalisering .................................................................................... 15

Befolkningsfremskrivningsmodellen.............................................................. 16

2.1

2.2

2.2.1

2.2.2

Befolkningen fordelt på alder, køn og oprindelse................................. 16

Bestemmelse af risikogrupper og vitale begivenheder ........................ 19

Det generelle tilfælde........................................................................ 20

Nyfødte.............................................................................................. 22

2.2.3 Demografiske

hændelser

for

indvandrere

uden

dansk

statsborgerskab ............................................................................................. 25

2.2.4

2.2.5

2.2.6

2.3

Identisk dødelighed på tværs af oprindelse ...................................... 27

Fødsler og fertilitet ............................................................................ 28

Nyfødtes fordeling på køn og oprindelse .......................................... 29

Eksogene parametre i fremskrivningsmodellen ................................... 31

Datagrundlaget for fremskrivningsmodellen................................................. 32

3.1

3.2

Dødelighedsdata ................................................................................... 32

Rapportering af restlevetid ................................................................... 33

Dødelighed og forventet levetid .................................................................... 36

4.1

4.2

4.3

4.3.1

4.3.2

4.4

4.5

Lee-Carter metoden .............................................................................. 37

Estimation af Lee-Carter modellen ....................................................... 39

Korrektioner af fremskrivningsmetoden ............................................... 40

Bell’s metode samt modifikation heraf ............................................. 41

Udglatning af dødeligheder for forskellige aldre i fremskrivningen . 43

Valg af dataperiode ............................................................................... 44

Estimationsresultater ............................................................................ 45

Side 3 af 132

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

Konstruktion af dødshyppigheder for de ældste ældre ........................ 48

Estimation og fremskrivning af dødsfald inden for de første 10 levedage

Resultater af fremskrivningen ............................................................... 51

Udviklingen i dødeligheden for de enkelte aldersgrupper ................... 53

Definition af restlevetid ........................................................................ 54

4.10.1

Sædvanlig fremgangsmåde for beregning af restlevetid i

dødelighedstavler .......................................................................................... 55

4.10.2

4.10.3

4.11

4.12

4.13

Alternativ beregning af restlevetid ............................................... 57

Intuitiv formulering af restlevetid ................................................. 58

Restlevetidsudviklingen for mænd........................................................ 61

Restlevetidsudviklingen for kvinder ...................................................... 63

Fremtidig udvikling i den aldersbetingede restlevetid.......................... 65

Fremtidig udvikling i middellevetiden ........................................... 65

Fremtidig udvikling i restlevetiden for 60-årige ............................ 66

4.13.1

4.13.2

4.14

4.15

Kohorterestlevetid ................................................................................ 67

Sammenfatning af resultater om restlevetidsstigning .......................... 70

Fødsler og Fertilitet ........................................................................................ 72

5.1

5.2

Historisk udvikling i fødsler og fertilitet ................................................ 72

Fremskrivning af aldersbetingede fertilitetskvotienter ........................ 75

5.3

Udglatning af aldersbetinget fertilitet i den historiske periode ved

tilpasning til skæv normalfordeling ................................................................... 76

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

Estimation af den aldersbetingede fertilitet for de store grupper ....... 78

Bestemmelse af fertilitetskvotienter for de øvrige befolkningsgrupper

Konvergens af fertilitet på langt sigt ..................................................... 82

Fastlæggelse af det langsigtede fertilitetsniveau.................................. 83

Fremskrivningsresultater ...................................................................... 84

Udviklingen i den aldersbetingede fertilitet ......................................... 89

Udviklingen i kohortefertiliteten ........................................................... 91

Nyfødtes fordeling på oprindelsesgrupper ........................................... 92

Indvandring, udvandring og statsborgerskab ................................................ 94

6.1

6.2

Lovgivning med betydning for indvandringen ...................................... 94

Udviklingen i indvandringen 1992 - 2012 ............................................. 96

Side 4 af 132

6.3

6.3.1

6.3.2

6.4

6.5

Fremskrivning af indvandringen............................................................ 99

Førstegangsindvandring – indvandrere uden dansk statsborgerskab

Genindvandring ............................................................................... 101

Udvandring .......................................................................................... 104

Statsborgerskabsskift .......................................................................... 106

Resultater ..................................................................................................... 108

7.1

7.2

7.3

7.4

Udviklingen i den samlede befolkning ................................................ 108

Indvandring og udvandring ................................................................. 109

Befolkningsgrupperne ......................................................................... 111

Aldersfordeling .................................................................................... 113

Sammenligning med Befolkningsfremskrivning 2012.................................. 119

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

Udviklingen i den samlede befolkning ................................................ 119

Fødsler og fertilitet .............................................................................. 121

Dødsfald og middellevetid .................................................................. 123

Vandringer ........................................................................................... 125

Udvikling i forsørger- og ældrekvote................................................... 129

Referencer.................................................................................................... 131

Side 5 af 132

Forord

29.

april

2013

udsendtes

den

samordnede

landsdækkende

befolkningsfremskrivning mellem Danmarks Statistik (DST) og DREAM. Forskellen

mellem sidste og dette års fremskrivning er forklaret af en kombination af

tilføjelsen af et nyt historisk år og metodiske korrektioner.

De metodiske korrektioner i årets fremskrivning udgøres primært af en ændring i

tilpasningshastigheden til det langsigtede fertilitetsniveau og i en ændring af

risikogruppebegrebet anvendt til bestemmelse af udvandring og

statsborgerskabsskifte af indvandrere uden dansk statsborgerskab.

I nærværende publikation beskrives det datamæssige og modeltekniske grundlag

for fremskrivningen samt de væsentligste resultater. Udgangspunktet for 2013-

fremskrivningen er den registrerede befolkningsudvikling frem til primo 2013.

Befolkningsudviklingen rapporteres – i overensstemmelse med tidligere år –indtil

år 2100. Det skal understreges, at usikkerheden på befolkningsfremskrivningen er

hastigt voksende i fremskrivningens længde. Idet der således er knyttet en

betragtelig usikkerhed til især de langsigtede skøn, skal resultatet først og

fremmest fortolkes som en illustration af befolkningsudviklingen og dens

sammensætning for det anvendte sæt antagelser.

Fortolkninger og synspunkter udtrykt i nærværende publikation er DREAMs egne

og ikke nødvendigvis sammenfaldende med Danmarks Statistiks.

Side 6 af 132

1 Indledning

DREAM har udarbejdet befolkningsfremskrivninger siden 1999, og disse er

løbende blevet dokumenteret i forbindelse med beskrivelse af resultatet af den

aktuelle fremskrivning. Gradvist er der sket en udbygning af de anvendte

metoder. I 2010 udsendte DREAM og Danmarks Statistik (DST) den første

samordnede landsdækkende befolkningsfremskrivning. Formålet med

samordningen var dels at eliminere den forvirring og manglende konsistens som

eksistensen af to forskellige fremskrivninger hidtil har givet anledning til og dels

på sigt at skabe et gunstigt miljø for videreudvikling af metoder til fastlæggelse af

demografiske begivenheder og det bagvedliggende datagrundlag. Udfærdigelsen

af den første fælles fremskrivning var primært funderet i de metoder, der hidtil

har været anvendt af DREAM, mens datagrundlaget optimeredes gennem udtræk

fra PersonStatistikDatabasen (PSD) leveret fra DST.

Formålet med denne publikation er at dokumentere de anvendte metoder i

DREAMs befolkningsfremskrivningsmodel og det datagrundlag, der danner

udgangspunkt for modellen. Modellens grundlæggende struktur, der

præsenteres i kapitel 2, er uændret relativt til sidste år. Datagrundlaget stammer

som sidste år fra et udtræk fra PersonStatistikDatabasen, hvilket indebærer, at

historisk data er revideret i det omfang, der er indløbet nye oplysninger til

databasen siden sidste år. I publikationen præsenteres endvidere resultaterne af

årets fremskrivning og endelig sammenlignes dette års fremskrivning med

fremskrivningen fra 2012 og forskellene dekomponeres i effekter hidrørende de

respektive demografiske bevægelser. I fravær af ændringer i den metodiske

tilgang er forskelle mellem de to fremskrivninger som udgangspunkt foranlediget

af den information, der ligger i et nyt dataår. I Befolkningsfremskrivning 2013 skal

forskelle relativt til 2012-versionen i stor udstrækning tilskrives et fortsat fald i

fertiliteten fra 2011 til 2012, der har motiveret en halvering af

konvergenshastigheden til det langsigtede fertilitetsniveau for at sikre en

plausibel udvikling i kohortefertiliteten. Endvidere er risikogruppebegrebet

benyttet til bestemmelse af udvandring og statsborgerskabsskifte af indvandrere

uden dansk statsborgerskab revideret, så dette nu er i overensstemmelse med

definitionen anvendt i data. De metodiske ændringer omtales i hhv. kapitel 2 og

kapitel 4.

Dokumentationen er organiseret på følgende måde: I dette kapitel gives det

første overblik over modellen. I kapitel 2 opstilles den anvendte

befolkningsfremskrivningsmodel og der redegøres for dimensionaliteten samt de

eksogene variable, der fastlægges ved estimation baseret på den historiske

udvikling. I kapitel 3 præsenteres de anvendte datakilder og centrale

demografiske begreber defineres. Kapitel 4 omfatter en beskrivelse af

udviklingen af dødeligheden i Danmark gennem det seneste århundrede og af

Lee-Carter metoden, der i modificeret form anvendes til estimation af den

fremtidige udvikling i dødeligheder og dermed den aldersbetingede restlevetid.

Endvidere rummer kapitlet en beskrivelse af forskellige indbyrdes konsistente

Side 7 af 132

tilgange til beregning af forventet levetid. Tilsvarende indeholder kapitel 5 en

beskrivelse af udviklingen i antallet af fødsler og i fertiliteten gennem det seneste

århundrede og på denne baggrund præsenteres fremskrivningen af den samlede

fertilitet. Fremskrivningen er baseret på en anvendelse af Cubic Spline Smoothing

teknikken, som ligeledes beskrives i kapitlet. Kapitel 6 omfatter en gennemgang

af den historiske udvikling i indvandringen og de vigtigste hertil knyttede

politiktiltag. Yderligere beskrives den anvendte tilgang til fremskrivning af

henholdsvis indvandring, udvandring og statsborgerskabsskifte. Kapitel 7

præsenterer resultaterne af den samlede befolkningsfremskrivning, mens

fremskrivningen endeligt sammenlignes med den forrige i kapitel 8.

Side 8 af 132

1.1 Opbygningen af befolkningsmodellen

Overordnet består en befolkningsmodel af et sæt ligninger, der holder regnskab

med udviklingen i befolkningen fra år til år. Demografiske regnskabsmodeller blev

første gang benyttet af Edwin Cannan (1861-1935) til at lave

befolkningsfremskrivninger for England og Wales, mens amerikaneren Pascal K.

Whelpton i et antal artikler fra omkring 2. verdenskrig opstillede en samlet

metode til befolkningsfremskrivning, jf. Alho og Spencer (2005). Siden 1963 har

Danmarks Statistik produceret befolkningsfremskrivninger, der ligeledes er

baseret på en regnskabsmodel for befolkningen, jf. Danmarks Statistik (1978).

Således har samordningen af fremskrivningerne mellem DREAM og DST altså

heller ikke medført væsentlige ændringer af den anvendte grundmodel set fra

DSTs synspunkt.

Den grundlæggende metode bag demografiske regnskabsmodeller består i, at en

given udgangsbefolkning opdeles på et antal undergrupper (f.eks. køn, alder og

oprindelse), der fremskrives ét år ad gangen på baggrund af vitale demografiske

begivenheder:

fødsler,

dødsfald,

indvandring,

udvandring

naturalisering/statsborgerskabsskifte. Figur 1 viser opbygningen af DREAMs

model til befolkningsfremskrivning.

Figur 1. En model til befolkningsfremskrivning er sammensat af en række

delmodeller for de vitale begivenheder, og regnskabsmodellen holder regnskab

med udviklingen i befolkningen på baggrund af udviklingen i de enkelte vitale

begivenheder.

Model til befolkningsfremskrivning

Model for vitale begivenheder

Model for Dødelighed

Regnskabsmodel

Model for Fertilitet

Model for Immigration

Model for Emigration

Model for Naturalisering

Det helt centrale i enhver befolkningsfremskrivning er den fremtidige udvikling i

fertilitet, dødelighed, indvandring, udvandring og naturalisering. I det følgende

gennemgås

antagelser

metoder,

der

benyttes

befolkningsfremskrivningen.

Side 9 af 132

1.2 Vitale begivenheder

Regnskabsmodellen for befolkningen holder styr på ændringer i

primobefolkningen mellem to år. Mekanismerne, der angiver udviklingen af

Danmarks befolkning er relativt få. Befolkningen vokser på grund af fødsler og

indvandring og formindskes på grund af dødsfald og udvandring, mens

sammensætningen af befolkningen på oprindelsesgrupper ændres gennem

naturalisering, dvs. opnåelse af dansk statsborgerskab.

1.2.1 Dødsfald

Antallet af døde et givet år i fremskrivningen opnås ved at multiplicere

fremskrevne køns- og aldersfordelte dødshyppigheder med antallet af personer,

der er eksponeret for dødsrisiko. Der antages således identiske dødshyppigheder

på tværs af oprindelse. Antagelsen skal tilskrives, at der blandt efterkommere på

nuværende tidspunkt er relativt få personer i de ældre aldersgrupper, hvor

dødeligheden er højst. Estimationsgrundlaget er således for tyndt til udarbejdelse

af en fremskrivning af dødelighed for hver enkelt oprindelsesgruppe. For

indvandrere er datamaterialet dog ved at opnå en tæthed, der retfærdiggør

rimeligheden i inden for nærmeste fremtid at undersøge muligheden for særskilt

fremskrivning for disse befolkningsgrupper. Således viser en deskriptiv analyse

sammenlignende dødeligheden for personer med dansk oprindelse og

indvandrere for perioden 2005-2009 viser, at indvandrere fra både vestlige og

ikke-vestlige lande i stort set alle aldersgrupper har en lavere dødelighed end

personer af dansk oprindelse

Som

indført

2010-fremskrivningen

skelnes

desuden

mellem

spædbørnsdødelighed indtrædende hhv. de første 10 dage efter fødslen og den

resterende del af første leveår. Idet dødssandsynligheden blandt 0-årige er

specielt høj kort tid efter fødslen og 0-årige indvandrere primært kommer til

landet efter denne periode, opnås ved denne differentiering en mere realistisk

vurdering af dødsfald blandt indvandrede spædbørn. Ved kun at betragte en

enkeltstående dødelighed blandt 0-årige, vil der grundet det høje bidrag fra helt

nyfødte alt andet være tendens til at overvurdere dødsfald blandt indvandrede

spædbørn.

1.2.2 Estimation af dødelighed

For given alder og køn er dødeligheden i en given periode defineret som antallet

af dødsfald divideret med antallet af personer, der er udsat for dødsrisiko. Til

estimation af fremtidige dødeligheder benyttes for aldersgrupperne 0-99 år en

modificeret version af Lee-Carter metoden, der er en ekstrapolativ baseret

metode, jf. Lee & Carter (1992a, 1992b). Den grundlæggende antagelse i Lee-

Carter metoden er, at den fremtidige udvikling i en given aldersbetinget

dødelighed kan beskrives ud fra den historiske udvikling i de aldersbetingede

Danmarks Statistik (2010a): Tabel 1.21.

Side 10 af 132

dødeligheder. For at reducere dimensionen af problemet antages det, at der er

en betydelig regularitet i udviklingen af de aldersspecifikke dødeligheder, således

at de kan beskrives af tre elementer: En aldersspecifik del, der er uafhængig af

tidspunktet, et mortalitetsindeks, der er et tidsafhængigt mål for den samlede

dødelighedsudvikling og en tidsuafhængig aldersprofil, der vægter gennemslaget

af udviklingen i mortalitetsindekset på dødeligheden i de enkelte aldersklasser.

Metoden indebærer, at forholdet mellem vækstraterne i dødeligheden for to

forskellige aldersgrupper er konstant. Den fremtidige udvikling i dødelighederne

bestemmes alene af udviklingen i mortalitetsindekset, der estimeres ved

standardmetoder fra tidsrækkeanalyse, jf. f.eks. Chatfield (2004). Til estimation af

dødeligheder anvendes til 2013-fremskrivningen data fra perioden 1990-2012. I

kapitel 4 vil den anvendte Lee-Carter metode samt metoden til ekstrapolation af

dødeligheder for nyfødte blive gennemgået. Ligeledes omtales hvorledes

dødeligheder for aldersgrupperne 100-120 år fastlægges.

1.2.3 Fødsler

Det samlede antal fødsler findes som summen af børn født af mødre i de enkelte

befolkningsgrupper. Nyfødtes oprindelsesgruppe afhænger, som følge af

definitionerne af oprindelsesgrupperne, både af faderens og moderens

oprindelse. Der konstrueres på basis af de historiske erfaringer gennem de sidste

3 år (2010-2012 i 2013-fremskrivningen) en sandsynlighedsfordeling for barnets

oprindelse givet moderens. Denne fordeling anvendes i fremskrivningen til at

fordele børnene på oprindelsesgrupper. I afsnit 2.2.6 beskrives metoden til at

tildele børn oprindelse på baggrund af moderens oprindelse.

Fødslerne i en given befolkningsgruppe kan beregnes som den aldersbetingede

fertilitet multipliceret med kvinder i den givne befolkningsgruppe og med den

givne alder. Fødsler opdeles på køn ved at antage, at en konstant andel af alle

nyfødte er drenge. Andelen af drengebørn beregnes som gennemsnittet over

hele dataperioden.

1.2.4 Estimation af fertilitet

Den aldersfordelte fertilitet er defineret som antallet af fødsler blandt mødre

med en given alder divideret med antallet af potentielle mødre, dvs. kvinder i

den pågældende aldersklasse. Fremskrivningen af fertilitet foretages ved at

fremskrive den aldersbetingede fertilitet for hver oprindelsesgruppe. I

modsætning til estimationen af dødeligheder estimeres den enkelte

aldersgruppes fertilitet uafhængigt af den samlede fertilitet og vil derfor også

være uafhængig af de øvrige aldersgruppers fertilitet. Udviklingen i den samlede

fertilitet i fremskrivningen fremkommer således som en sum af udviklingen i de

enkelte aldersgruppers fertilitet.

Side 11 af 132

Der er historisk set større udsving i periodefertilitet end i dødelighed, hvorfor

udviklingen på det korte sigt bestemmes på baggrund af den nuværende trend i

fertiliteten, mens fertiliteten efterfølgende konvergerer mod et eksogent

ligevægtsniveau. Det langsigtede niveau er fastlagt ved at betragte den historiske

udvikling af kohortefertilitet og en antagelse om, at denne er rimelig stabil over

tid. På kort sigt kan der således være stor forskel i udviklingen i fertilitet for

befolkningsfremskrivninger med forskelligt basisår.

Fertiliteten for hele befolkningen faldt med 0,1 fra 2010 og 2011 og yderligere

med 0,02 fra 2011 til 2012. I 2013-fremskrivningen er konvergenshastigheden til

langsigtsniveauet reduceret fra 20 til 10 år ligesom trendeffekten i

fremskrivningens start er mindsket. Ændringerne er motiveret af, at det fortsatte

fald i fertiliteten i fravær af korrektion, ville foranledige en udvikling i

kohortefertiliteten, der selv i historisk perspektiv ikke kan anses for værende

plausibel. Med tanke på, at den nuværende udvikling i fertiliteten må anses for

påvirket af såvel de ugunstige konjunkturforhold som af den midlertidige

indførelse af egenbetaling af fertilitetsbehandling (der blev afskaffet pr. 1. januar

2012), er det ikke fundet sandsynligt, at fertilitetsniveauet på kort sigt fortsat

falder markant, hvilket sammen med kohorteovervejelserne har ført til den

nævnte revision.

Det er udelukkende for de tre største befolkningsgrupper, at der er et

tilstrækkeligt antal observationer til at kunne estimere den aldersbetingede

fertilitet med et-års alderstrin. De tre grupper er: Personer med dansk

oprindelse, indvandrere fra ikke-vestlige lande uden dansk statsborgerskab og

indvandrere fra vestlige lande uden dansk statsborgerskab. For disse grupper

uddrages for hver alder mellem 15 og 49 år trenden af den historiske udvikling i

fertiliteten og den aldersbetingede fertilitet fremskrives derefter ved hjælp af

disse trends. Trenden i den aldersbetingede fertilitet udledes ved anvendelse af

en metode benævnt

Cubic Spline Smoothing

(CSS), jf. Hyndman, King og Billah

(2002).

Der estimeres til 2013-fremskrivningen på baggrund af data fra perioden 1992-

2012 og som noget nyt udledes de historiske alderstrends ikke direkte på data,

men derimod på aldersprofiler baseret på estimation ved brug af en såkaldt skæv

normalfordeling, der for unimodale fertilitetsmønstre anses for at være en

fordelagtig model til beskrivelse af data, jf. Mazzuco & Scarpa (2011).

Estimationen medvirker specielt til udglatning af fertilitetsprofilerne for

indvandrere i de første år af perioden, hvor datagrundlaget er relativt tyndt. Når

der efterfølgende udledes trends på det estimerede grundlag sikres en mere

jævn udvikling over tid i de enkelte aldersgrupper, der nu i større grad er udtryk

for faktiske forskydninger i aldersmønsteret end en forbedring af det

underliggende datagrundlag, der følger med en gradvis stigning i antallet af

medlemmer i befolkningsgruppen. I afsnit 5.3 og 5.4 gennemgås henholdsvis

tilpasningen af den aldersafhængige fertilitet til en skæv normalfordeling og

Cubic Spline Smoothing

metoden anvendt til estimation af fertilitet.

Side 12 af 132

De resterende befolkningsgrupper er små. Det er problematisk at fremskrive

fertiliteten for disse befolkningsgrupper af to grunde. For det første medfører

gruppernes størrelse en betydelig statistisk usikkerhed. For det andet er de

kvindelige medlemmer af efterkommergrupperne hovedsageligt under 25-30 år,

hvilket betyder, at det er særdeles vanskeligt at skønne over den aldersbetingede

fertilitet for den ældste halvdel af den fødedygtige alder på grund af manglende

data. Fremskrivningen konstrueres derfor ved at sammenligne den

aldersbetingede fertilitetsprofil for hver enkelt af de små befolkningsgrupper

med den tilsvarende aldersbetingede fertilitetsprofil for de tre store grupper.

Ved hjælp af lineær regressionsanalyse på observationer for de seneste 5 år

estimeres de små befolkningsgruppers aldersbetingede fertilitet som et vejet

gennemsnit af de tre store gruppers aldersbetingede fertilitet. Herefter

fremskrives den aldersbetingede fertilitet for de små befolkningsgrupper på

grundlag af fremskrivningerne af de tre store gruppers aldersbetingede fertilitet.

I afsnit 5.5 beskrives metoden til estimation af fertilitet for de små

befolkningsgrupper på baggrund af de tre store befolkningsgrupper.

Når den kortsigtede udvikling i fertiliteten er bestemt for samtlige

befolkningsgrupper, bestemmes konvergensen mod langsigtsudviklingen. Til

dette benyttes en

Richardskurve,

der i løbet af en given tidsperiode vægter

mellem den kortsigtede og den langsigtede udvikling i fertiliteten, hvor

sidstnævnte er eksogent bestemt. I afsnit 5.6 gennemgås denne metode, der

sikrer, at langsigtsudviklingen ikke ændres voldsomt ved indførelsen af et nyt

dataår. Dette ville være uhensigtsmæssigt, idet tilføjelsen af et enkelt dataår ikke

indeholder information, der gør os mere vidende om det mellemlange og lange

sigt. Såfremt der over en længere årrække observeres tendenser i

kohortefertiliteten, der trækker i en entydig retning, kan man med rimelighed

overveje at revidere langsigtsniveauet. Som nævnt ovenfor er

konvergensperioden til langsigtsniveauet halveret i årets fremskrivning relativt til

hvad var gældende i Befolkningsfremskrivning 2012.

1.2.5 Immigration

Personer, der indvandrer til en given befolkningsgruppe, er opdelt i to forskellige

typer indvandring. For indvandrere uden dansk statsborgerskab er der en

eksogen tilstrømning af indvandrere, mens der for alle andre befolkningsgrupper

er genindvandring, der beregnes ud fra indvandringsfrekvensen.

For indvandrere uden dansk statsborgerskab er den fremtidige indvandring

antaget eksogent givet. Som udgangspunkt antages således, at indvandringen fra

hhv. vestlige og ikke-vestlige lande fordelt på køn og alder i fremtiden bliver på et

givet niveau. Udviklingen i de senere års indvandring må formodes i stor

udstrækning at afspejle de konjunkturmæssige forhold, men vil også være

præget af den gradvise lempelse af kravene i Østaftalen. For første gang siden

2003 kunne for begge typer af indvandrere uden dansk statsborgerskab noteres

et fald i indvandringen fra 2008 til 2009. Fra 2009 til 2010 opfølges dette dog af

Side 13 af 132

en mindre stigning. Bruttoindvandringen stiger yderligere fra 2010 til 2011 for

indvandrere fra vestlige lande, mens der for ikke-vestlige indvandrere noteres et

mindre fald. Fra 2011 til 2012 stiger indvandringen yderligere fra vestlige lande,

mens ikke-vestlig indvandring er stort set uændret fra 2011 til 2012.

Kombinationen af lempelser i Østaftalen og de seneste års konjunktursituation

gør det særdeles vanskeligt at vurdere hvor stor en del af de seneste års

udvikling,

der

måtte

indikere

permanent

ændring

indvandringstilbøjeligheden. Der er dog i øjeblikket intet der tyder på, at

bruttoindvandringen fra vestlige lande på trods af de seneste års

konjunkturudsving, vil antage et omfang på linje med det markant lavere niveau

fra før 2003. Det årlige bruttoindvandringsomfang fra såvel ikke-vestlige som

vestlige lande er på sigt fastholdt på niveauet fra Befolkningsfremskrivning 2012,

således at der i fremskrivningen antages at indvandre 22.000 og 13.000 personer

fra hhv. vestlige og ikke-vestlige lande med udenlandsk statsborgerskab.

Niveauet er fastlagt således, at nettoindvandringen til befolkningsgruppen er

relativ stabil, hvilket afspejler den seneste historiske udvikling.

Niveauet i første fremskrivningsår, dvs. 2013, er fastlagt som et gennemsnit over

de seneste tre historiske år, hvorefter der over en 10-årig periode konvergeres

mod langsigtsniveauet. Den gradvise konvergens bevirker, at den trendmæssige

udvikling i bestanden af indvandrere bevares ved overgangen mellem den

historiske periode og fremskrivningsperioden. Historisk har der ikke kunnet

observeres knæk i udviklingen af den type, som en direkte overgang til

langsigtsniveauet ville afstedkomme. Startniveauet for ikke-vestlig indvandring er

på ca. 14.800 personer, mens vestlig indvandring initialt ligger på 25.000

personer. Indvandringen fordeles på køn og alder i henhold til, hvad der

gennemsnitligt har været gældende for indvandringen til de respektive grupper i

perioden 2010-2012.

Indvandring til øvrige befolkningsgrupper med dansk statsborgerskab, beregnes

ud fra indvandringsfrekvenser fordelt på alder, køn og oprindelse. Frekvenserne

beregnes som et gennemsnit over de sidste tre dataår, senest 2010-2012. En

mekanisk fremgangsmåde som denne indebærer en betydelig risiko for, at

konjunktur- og midlertidige politikeffekter videreføres gennem fremskrivningen.

Selv om genindvandring må betegnes som mindre konjunkturfølsomt end

indvandring af indvandrere uden dansk statsborgerskab, bør beregningen

suppleres med en vurdering af realismen af de langsigtede effekter. Fordelen ved

at anvende et gennemsnit, der gradvist ændres med hver fremskrivning, er på

den anden side, at man ved permanent ændret adfærd opnår en gradvis

tilpasning til den nye tendens.

Med udgangspunkt i data fra PSD er det blevet klarlagt, at indvandringen opgjort

efter registrerede hændelser er en anelse undervurderet relativt til den faktiske

Side 14 af 132

indvandring. Dette skyldes forsinkede indberetninger. Indvandring hørende til år

t opgøres sædvanligvis 1. februar år t+1. Revideres opgørelsen for år t i år t+2 ses

en stigning i niveauet relativt til den første opgørelse, idet yderligere

indberetninger er indløbet. Yderligere revideringer i de efterfølgende år, dvs. t+3,

t+4 osv. indikerer, at der ikke indløber ekstra indberetninger af betydning efter år

t+2. Ud fra historisk data for indvandringer opgjort i hhv. år t+1 og t+2

bestemmes køns- og aldersgruppeafhængige skaleringsfaktorer, der

efterfølgende pålægges de fundne indvandringsfrekvenser for at korrigere for

forsinkelser. De eksogene indvandringsniveauer ikke underlagt korrektion for

forsinkelser, da disse skøn i forvejen må betegnes som relativt usikre.

I kapitel 6 er uddybet de overvejelser, der ligger til grund for bestemmelse af den

fremtidige indvandring.

1.2.6 Emigration

Antallet af personer, der i et givet år udvandrer fra en given befolkningsgruppe,

beregnes ud fra udvandringsfrekvensen fordelt på alder, køn og oprindelse.

Frekvenserne beregnes som et gennemsnit over de sidste tre dataår, senest

2010-2012. Sammenholdes denne antagelse med antagelsen om genindvandring

fås, at netto-indvandringsfrekvensen til befolkningsgrupper med dansk

statsborgerskab er konstant, hvilket dog ikke gælder for netto-indvandringen til

befolkningsgrupper uden dansk statsborgerskab.

Specielt for udvandring kan det konkluderes, at forsinkede indberetninger relativt

til de registrerede hændelser spiller en central rolle. Opgørelsen af udvandring

for år t, der som udgangspunkt er opgjort i år t+1, vil først udvise tendens til at

stabilisere sig fra og med år t+4. Udvandringer hørende til året 2007 opgøres

således 1. februar 2011, 2008 opgøres i 2012 og 2009 opgøres i 2013 og der

beregnes igen en gennemsnitlig køns- og aldersgruppeafhængig skaleringsfaktor,

som de fundne udvandringshyppigheder justeres med.

Til sine tidligere befolkningsfremskrivninger, dvs. til og med år 2009, har DREAM

selv udtrukket relevant data for vandringer. En person blev ved denne lejlighed

betegnet som værende udvandret, såfremt vedkommende var til stede primo

året, ikke død i løbet af året og fraværende ultimo året. Denne

opgørelsesmetode implicerer, at en vandring kan tilknyttes et år, hvor den

faktiske hændelse ikke har fundet sted, men blot er registreret. Idet metoden

dog er anvendt konsekvent for alle dataår, får man dog alligevel i et vist omfang

inddraget de forsinkede indberetninger, men altså ikke i de korrekte år.

Muligheden for at skelne mellem hændelser og registreringer er først opstået

med anvendelsen af PSD, men grundet den tidligere anvendte metode til

konstruktion af data, vurderes emnet altså ikke at have haft nogen signifikant

betydning for DREAMs tidligere fremskrivninger.

For såvel ind- som udvandring gælder, at aldersprofilen for hyppighederne efter

behov tætnes ved skalering af den tilsvarende profil for personer af dansk

oprindelse. Dette vil afstedkomme en mere realistisk profil for aldersgrupper,

Side 15 af 132

hvor data er tyndt og der tidligere blot har været antaget konstant ind- og

udvandringstilbøjelighed for personer ældre end en given alder.

1.2.7 Naturalisering

Antallet af personer fra befolkningsgrupper uden dansk statsborgerskab, der i et

givet år skifter statsborgerskab, beregnes ud fra frekvensen for

statsborgerskabsskift fordelt på alder, køn og oprindelse. Frekvensen beregnes

som et gennemsnit over de sidste tre dataår, senest 2010-2012.

Der er kun set på skift fra udenlandsk statsborgerskab til dansk, da den

modsatrettede bevægelse er så lille, at man med rimelighed kan se bort fra den.

I afsnit 2.3 samt kapitel 6 beskrives estimation af den eksogene indvandring samt

indvandrings-, udvandrings- og naturaliseringsfrekvenserne.

Side 16 af 132

2 Befolkningsfremskrivningsmodellen

I dette afsnit vil der blive redegjort for de regnskabsmæssige sammenhænge i

modellen til fremskrivning af befolkningen. Som beskrevet i forrige afsnit er de

regnskabsmæssige sammenhænge mellem vitale begivenheder universelle for

befolkningsmodeller, og de store forskelle mellem befolkningsmodeller ligger i

modellering af vitale begivenheder, som vil blive behandlet i de kommende

afsnit.

Udviklingen i den samlede befolknings størrelse fra et år til det næste afhænger

af antal fødte, antal døde og antallet af ind- og udvandrede.



�½









(1)

hvor

er befolkningen primo år

er antal fødte i år

er antal døde i år

er antal indvandrede i år

er antal udvandrede i år

Der eksisterer ikke andre faktorer, der ændrer den samlede befolkning og derfor

består en befolkningsfremskrivning generelt af ændringer i disse fire typer vitale

begivenheder i hvert af de fremtidige år. For at kunne fastlægge disse størrelser

opdeles befolkningen på et givet tidspunkt efter dimensionerne alder, køn og

oprindelse, hvor oprindelse i nærværende sammenhæng anvendes som fælles

betegnelse for kombinationen af oprindelsestype, oprindelsesland og

statsborgerskabsstatus

2.1 Befolkningen fordelt på alder, køn og oprindelse

Kombinationen af oprindelsestype, oprindelsesland og statsborgerskabsstatus

giver anledning til, at befolkningen opdeles i ti oprindelsesgrupper:



Resterende befolkning (personer af dansk oprindelse) uden dansk

statsborgerskab,

dan.

Resterende befolkning (personer af dansk oprindelse) med dansk

statsborgerskab,

dad.



Oprindelsestype

omfatter indvandrere, efterkommere og den resterende befolkning, jf. afsnit 2.2.

Oprindelsesland

angiver for indvandrere hvorvidt vedkommende stammer fra et vestligt eller et

ikke-vestligt land, mens der for efterkommere henvises til arten af moderens oprindelsesland. Mht.

til statsborgerskabsstatus skelnes mellem hvorvidt man har dansk eller udenlandsk

statsborgerskab.

Gruppen af personer af dansk oprindelse indeholder et antal personer uden dansk

statsborgerskab. Børn født i Danmark af disse personer kan derfor principielt bliver karakteriseret

som efterkommere, jf. definitionen af oprindelsestype. Da antallet er meget begrænset er det valgt

at se bort fra denne mulighed. Generelt behandles befolkningsgruppen

dan

adfærdsmæssigt som

den store gruppe

dad.

I sådanne tilfælde anvendes den fælles oprindelsesbetegnelse

da.

Side 17 af 132



Indvandrere fra ikke-vestlige lande uden dansk statsborgerskab,

ixn

Indvandrere fra ikke-vestlige lande med dansk statsborgerskab,

ixd

Indvandrere fra vestlige lande uden dansk statsborgerskab,

iwn

Indvandrere fra vestlige lande med dansk statsborgerskab,

iwd

Efterkommere uden dansk statsborgerskab hvis mor kommer fra et ikke-

vestligt land,

dxn

Efterkommere med dansk statsborgerskab hvis mor kommer fra et ikke-

vestligt land,

dxd

Efterkommere uden dansk statsborgerskab hvis mor kommer fra et

vestligt land,

dwn

Efterkommere med dansk statsborgerskab hvis mor kommer fra et

vestligt land,

dwd



Fastlæggelse af oprindelsestypestatus, dvs. om et individ er indvandrer,

efterkommer eller af dansk oprindelse følger Danmarks Statistiks definition og er

givet ved:

Indvandrere:

Personer, der er født i udlandet af forældre, der begge er

udenlandske statsborgere eller er født i udlandet. Hvis der kun foreligger

oplysninger om den ene forælder, defineres personen som indvandrer, hvis

vedkommende er født i udlandet, og forælderen er udenlandsk statsborger eller

født i udlandet. Hvis der ikke findes oplysninger om nogen af forældrene, og

personen er født i udlandet, defineres personen ligeledes som indvandrer.

Efterkommere:

Personer, der er født i Danmark af forældre, hvoraf ingen er både

dansk statsborger og født i Danmark. Hvis der ikke findes oplysninger om nogen

af forældrene, og personen er udenlandsk statsborger født i Danmark, betragtes

vedkommende også som efterkommer.

Dansk oprindelse:

Personer, hvoraf mindst en af forældrene er dansk statsborger

og født i Danmark, uanset personens eget fødeland og statsborgerskab. Hvis der

ikke findes oplysninger om nogen af forældrene, betragtes vedkommende som

værende af dansk oprindelse, hvis vedkommende er dansk statsborger født i

Danmark.

Disse gruppedefinitioner er udtømmende, dvs. alle personer i befolkningen

tilhører en af de tre grupper. Definitionerne er endvidere entydige, dvs. en given

person placeres i én og kun én af de tre grupper.

Side 18 af 132

Underopdelingen af indvandrere og efterkommere efter oprindelsesland følger

efter samordningen med Danmarks Statistik ikke længere FNs fordeling på mere

og mindre udviklede lande, men er erstattet med opdelingen på henholdsvis

vestlige

og ikke-vestlige

lande.

Den primære

forskel mellem

oprindelseslandsdefinitionerne er, at Balkanstaterne, Rusland og Japan regnes

som mere udviklede lande, men ikke har status som vestlige lande

Med opdelingen af befolkningen på alder,

køn,

og i de ti oprindelsesgrupper,

er det differensligningssystem, der danner udgangspunkt for

befolkningsfremskrivningen givet ved:



�½



t x















0,1 ,

�½

t g











(2)

hvor



er befolkningen med alder

køn

og oprindelse

o primo

år

t x

er det eksogent givne antal indvandrede med alder

køn

oprindelse

i år



er antal indvandrede med alder

køn

og oprindelse

i år

er antal udvandrede med alder

køn

og oprindelse

i år

er det eksogene antal med alder

køn

og oprindelse

i år

der

skifter til dansk statsborgerskab (og dermed oprindelsesgruppe)



er det endogent bestemte antal med alder

køn

og oprindelse

i år

der skifter til dansk statsborgerskab (og dermed

oprindelsesgruppe)



er antal døde med alder

køn

og oprindelse

i år

t g

er antal fødte af køn

og oprindelse

i år

Bemærk, at

t g

�½

for





ixn

ixd

iwn

iwd

�½

, da indvandrere pr. definition ikke kan være

født i Danmark.

Det er centralt at bemærke, at aldersdateringen af beholdninger og strømme er

forskellig. Befolkningen

er en beholdning og angiver antallet af personer i

En detaljeret oversigt over forskellen mellem oprindelsesfordelingerne mere/mindre udviklede

lande og vestlige/ikke-vestlige lande kan fås ved henvendelse til DREAM.

Side 19 af 132

oprindelsesgruppe

der primo året, dvs. pr. 1. januar, har alderen

resterende variable er strømme og er ultimo daterede.

angiver f.eks.

antallet af personer, der er indvandret til oprindelsesgruppe

i løbet af år

som ved dette års afslutning har alderen

Denne lidt specielle dateringsteknik

bruges ofte i demografiske sammenhænge, og har til formål at skaffe plads til

ligningen, der beskriver udviklingen i antallet af 0-årige.

Hvor intet andet er anført gælder, at variablene i modellen er endogene. For

befolkningsgrupper med dansk statsborgerskab, dvs.

dad, ixd, iwd, dxd

dwd,

er den eksogene variabel

defineret, idet den angiver antallet af personer,

der tilgår grupperne pga. skift til dansk statsborgerskab. Omfanget af skiftet

fastlægges af adfærden i de befolkningsgrupper personerne afgår fra og antages

derfor for værende eksogent fra modtagergruppens synspunkt. Således

eksisterer den endogene variabel

ikke for grupperne med dansk

statsborgerskab, men er defineret for personer uden dansk statsborgerskab, dvs.

for

dan, ixn, iwn, dxn

dwn.

Der gælder, at

ixd

�½

ixn

iwd

�½

iwn

dxd

�½

dxn

dwd

�½

dwn

dad

�½

dan

så





�½





t x















(3)

�½



t x











Den eksogene indvandring

t x

er relevant for indvandrere uden dansk

statsborgerskab, dvs. for de to oprindelsesgrupper

ixn

iwn,

mens indvandring

til de øvrige befolkningsgrupper har karakter af genindvandring og bestemmes ud

fra historiske vandringstilbøjeligheder.

2.2 Bestemmelse af risikogrupper og vitale begivenheder

Generelt kan vitale begivenheder

oplever en vital begivenhed, eller

risikogruppe, beskriver andelen,

Fastlæggelsen af det såkaldte

modelleres enten ved et antal personer, der

ved en frekvens, der med udgangspunkt i en

der oplever den pågældende begivenhed.

risikogruppebegreb er dermed centralt i

Side 20 af 132

modelleringen af demografiske begivenheder. Nedenfor behandles 0-årige og

den resterende befolkning særskilt, jf. de separate udtryk i (2).

2.2.1 Det generelle tilfælde

De endogene variable i ligningssystemet (2) fastlægges som



�½



�½



�½



�½



(4)

hvor

tx ,g ,o

for givet køn, alder og oprindelse, angiver det antal personer, der er

eksponeret for risiko for hhv. at indvandre, udvandre, dø eller skifte

statsborgerskab i løbet af år



1,g ,o



1,g ,o



1,g ,o



1,g ,o

angiver

sandsynlighederne for hver af de vitale begivenheder. Idet det sædvanligvis

antages, at befolkningens bevægelser eller de vitale begivenheder finder sted

jævnt fordelt over året, antages risikogruppen at udgøres af mediobefolkningen,

dvs.

x , g ,o



1,g ,o



tx ,g ,o

�½

(5)

�½



tx ,g ,o



t x



1,g ,o



1,g ,o





1,g ,o



1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o



tx ,g ,o



�½

tx ,g ,o





t x



1,g ,o



1,g ,o





1,g ,o



1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o



Sandsynlighederne anvendt i (4) benævnes derfor mediosandsynligheder. Disse

fastlægges ud historiske data for demografiske strømme og risikogrupper og

antages herefter at være eksogene i fremskrivningen. Fastlæggelse af de

demografiske begivenheder i fremskrivningen sker principielt ved, at der hver

periode løses et ligningssystem bestående af ligningerne i (4) og (5), hvorefter

næste periodes primobefolkning kan beregnes ved (2). Dette er en noget

omstændig og ressourcekrævende fremgangsmåde, hvorfor det nedenfor vises,

at der alternativt kan anvendes en ækvivalent tilgang, hvor der udelukkende

indgår udtryk i risikogruppebegrebet, der er kendte primo fremskrivningsåret.

Side 21 af 132

Indsættes (5) i (4) fås







�½









t x



















(6)











�½









t x





























�½









t x





























�½









t x























Ved løsning af (6) med hensyn til de fire endogene variable fås







1,g ,o

�½

t x



1,g ,o



tx ,g ,o





t x



1,g ,o



1,g ,o















1,g ,o

�½



1,g ,o



tx ,g ,o





t x



1,g ,o



1,g ,o















1,g ,o

�½



1,g ,o



tx ,g ,o





t x



1,g ,o



1,g ,o















1,g ,o

�½



1,g ,o



tx ,g ,o





t x



1,g ,o



1,g ,o









(7)

hvor

t x



1,g ,o

�½



1, g ,o



1,g ,o







1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o



(8)



1,g ,o

�½







1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o







1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o







1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o

�½



1,g ,o

�½

De korrigerede sandsynligheder benævnes primosandsynligheder, idet de

udelukkende baserer sig på primostørrelser og eksogene variable. Disse kan

historisk beregnes som

Side 22 af 132



t x



�½

(9)



�½



�½



�½

hvor det primobaserede risikogruppebegreb er givet ved

�½ N





t x

 S

tx



(10)

Ved at benytte de historiske sandsynligheder beregnet som i (9)

kombineret

med det primobaserede risikogruppebegreb, kan strømmene i (7) og

efterfølgende næste års primobefolkning fastlægges i fremskrivningen ved (2).

Indsættes (10) og (7) i (5) fås nedenstående relation mellem den primo- og

mediobaserede risikogruppe

tx ,g ,o

�½



t x



1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o





1,g ,o





x ,g ,o

Såfremt den mediobaserede risikogruppe anvendes i fremskrivningen, er det for

konsistensens skyld centralt, at de i fremskrivningen anvendte sandsynligheder

også historisk er baseret på samme risikogruppebegreb og således er beregnet

som i (9).

Definitionen af (10) varierer mellem oprindelsesgrupper, idet variablene ikke er

aktuelle for samtlige grupper. Der gælder således, jf. afsnit 2.1, at

tx ,g ,o

�½

tx ,g ,o



t x



1,g ,o

for o





ixn, iwn

�½

tx ,g ,o

�½

tx ,g ,o



1,g ,o

for o





dad , ixd , iwd , dxd , dwd

�½

tx ,g ,o

�½

tx ,g ,o

for o





dan, dxn, dwn

�½

2.2.2 Nyfødte

Nedenstående vedrører både individer netop født i Danmark og individer, der er

indvandret før det først fyldte år. Det antages, at børn fødes, dør, vandrer og

Vedrørende dødssandsynligheder vil disse pga. tyndt data ikke blive beregnet for hver

oprindelsesgruppe, men blot for befolkningen som helhed. Historisk beregning af disse

dødssandsynligheder omtales i afsnit 2.2.4.

Side 23 af 132

skifter statsborgerskab jævnt fordelt over året. Risikogruppen bestående af den

0-årige mediobefolkning kan med afsæt i (2) dermed udtrykkes som

�½













(11)

Antallet af fødte med givet køn og oprindelse antages i det følgende for værende

eksogent. I afsnit 2.2.5 og 2.2.6 gennemgås henholdsvis hvorledes antallet af

fødte fastlægges ud fra fertilitetsrater og hvorledes dette antal fordeles på

oprindelse ud fra en sandsynlighedsfordeling for barnets oprindelse givet

moderens.

Indvandring, udvandring og statsborgerskabsskifte kan ved anvendelse af

ovenstående risikogruppe umiddelbart udtrykkes som

�½













(12)

�½



t g











�½



t g











Som nævnt i afsnit 1.2.1 opdeles dødsfald for 0-årige i de, der indtræder inden

for de første 10 dages levetid og de, der indtræder den resterende del af første

leveår. Idet dødssandsynligheden er størst umiddelbart efter fødslen og

spædbørn primært må formodes at indvandre efter denne periode, mindsker

anvendelsen af to dødssandsynligheder risikoen for at overvurdere dødeligheden

blandt indvandrende spædbørn. Historisk data for spædbørnsdødelighed afslører

desuden forskellige tendenser over tid i de to typer af dødsfald blandt 0-årige,

hvorfor en separat fremskrivning af disse tendenser også bidrager til at nuancere

udviklingen i dødelighed relativt til en tilgang, der blot anvender en type af

dødelighed for 0-årige. Risikogruppen for dødsfald indtrædende umiddelbart

efter fødslen antages at være antallet af nyfødte, hvorfor antallet, der dør inden

for de første 10 levedage er givet ved

�½

t g

De resterende dødsfald blandt 0-årige kan beregnes ud fra samme risikogruppe,

som er anvendt i (12), dvs.

�½













(13)

hvor

�½



Side 24 af 132

Løsning af systemet (12) og (13) giver anledning til de demografiske bevægelser

defineret ved

�½







0,,0



�½



t g







�½



t g







�½



t g





0,0



(14)

hvor primosandsynlighederne er givet ved

0, g ,o

t0,g ,o

�½





t0,g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o





t0,g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o







t0,g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o

(15)

t0,g ,o

�½

t0,g ,o

�½

0, g ,o

t0,g ,o

�½





t0,g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o



Disse beregnes historisk som

0, g ,o

t0,g ,o

�½

0,g ,o

(16)

0, g ,o

t0,g ,o

�½

0,g ,o

0, g ,o

0,g ,o

�½

t ,1

t0,g ,o

0, g ,o

t0,g ,o

�½

0,g ,o

hvor det primobaserede risikobegreb her er givet ved

t0,g ,o

�½



t g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o



t0,g ,o



(17)

Sandsynligheden for at dø inden for de første 10 dage efter fødslen baseres på en

risikogruppe bestående af antallet af fødte og beregnes derfor som

0, g ,o

t ,0

t0,g ,o

�½

,0,o

t g

(18)

Side 25 af 132

2.2.3 Demografiske hændelser for indvandrere uden dansk

statsborgerskab

Anvendelse af risikogrupperne udledt i afsnit 2.2.1 og 2.2.2, vil for indvandrere

uden dansk statsborgerskab afstedkomme en mindre inkonsistens relativt til den

måde hvorpå historisk indvandring er opgjort. Indvandring til alle

befolkningsgrupper opgøres i data som den tilgang mellem primo- og

ultimobefolkningen, der ikke kan tilskrives fødsler eller statsborgerskabsskifte.

Indvandring til gruppen af indvandrere uden dansk statsborgerskab tænkes som

værende udtryk for førstegangsindvandring, hvorfor hele strømmen tilgår

gruppen med opholdstid 0 år. Per definition vil netop denne type indvandring

således være identisk med primobestanden med opholdstid 0 år i året efter

indvandringen er fundet sted (= ultimobefolkningen samme år som

indvandringen er hændt). Denne ækvivalens betyder, at der ikke er nogen afgang

fra gruppen af de netop indvandrede i indvandringsåret. Der er med andre ord

ingen, der udvandrer, dør eller skifter statsborgerskab samme år som de

indvandrer. Udvandring, dødsfald og statsborgerskabsskifte relaterer sig dermed

udelukkende til den del af gruppen af indvandrere uden statsborgerskab, der har

optrådt i primobefolkningen mindst én gang. Primobefolkningen udgør dermed

den korrekte risikogruppe for de nævnte afgangshændelser, hvorfor

afgangssandsynlighederne vil undervurderes, hvis indvandringsstrømmen



indregnes i risikogruppebegrebet for indvandrere uden dansk

statsborgerskab.

For indvandrere uden dansk statsborgerskab

risikogruppebegreb fra (5) alternativt skrives som

kan

det

medioficerede





�½

(19)

t x







t x



�½







hvor

er mediobefolkningen for den del af befolkningsgruppen uden

dansk statsborgerskab, der er indvandret i løbet af året og

mediobefolkningen for personer, der var tilstede primo år

Udvandring, statsborgerskabsskifte og dødsfald blandt oprindelsesgrupperne

iwn

ixn

vedrører iht. den måde, hvorpå historisk data er opgjort, udelukkende

personer i risikogruppen

, hvorfor de nævnte hændelser som alternativ til

(4) kan opgøres som

Side 26 af 132



�½



�½



�½



(20)

hvor risikogrupperne er defineret som ovenfor og mediosandsynlighederne

knyttet til risikogruppen

antages er være 0, hvorfor (20) kan reduceres til



�½



�½



�½



(21)

x , g ,o ,1

Ved brug af (2) kan

nu for

ixn

iwn

skrives som

x , g ,o ,1



1, g ,o



t x



1, g ,o



tx , g ,o

�½

(22)

tx , g ,o



t x



1, g ,o





1, g ,o





1,g ,o





1,g ,o



t x



1,g ,o



tx ,g ,o

�½

tx , g ,o







1, g ,o



1, g ,o



1,g ,o



Indsættes (22) i (21) og løses efterfølgende mht. de endogene variable fås



1, g ,o

�½



1, g ,o ,1

tx , g ,o ,1



1, g ,o

�½



1, g ,o ,1

x , g ,o ,1

(23)



1, g ,o

�½



1, g ,o ,1

tx , g ,o ,1

hvor



1, g ,o ,1



1, g ,o ,1

�½







1, g ,o ,1



1, g ,o,1



1, g ,o,1





1, g ,o,1

�½







1, g ,o ,1



1, g ,o,1



1, g ,o,1





1, g ,o ,1

�½







1, g ,o ,1



1, g ,o,1



1, g ,o,1



(24)



1, g ,o ,1



1, g ,o ,1

tx , g ,o ,1

�½

tx , g ,o

Side 27 af 132

er hhv. de primobaserede sandsynligheder og den primobaserede risikogruppe til

fastlæggelse af demografiske bevægelser for indvandrere uden dansk

statsborgerskab. Historisk kan de primobaserede sandsynligheder dermed

beregnes som



�½

(25)



�½



�½

Demografiske bevægelser knyttet til 0-årige kan per definition kun vedrøre de,

der er født eller indvandret med alder 0 i løbet af året. Indvandrere uden dansk

statsborgerskab med alder 0, vil være født i udlandet og dermed i

overensstemmelse med hvorledes indvandring historisk er opgjort, optræde i

primobefolkningen med alder 0, året efter indvandring. Udvandring,

statsborgerskabsskifte og dødsfald bør dermed ikke eksistere for 0-årige

indvandrere.

2.2.4 Identisk dødelighed på tværs af oprindelse

Specielt for dødssandsynlighederne antages som nævnt i afsnit 1.2.1, at disse

ikke varierer mellem oprindelsesgrupperne, hvorfor de ikke historisk bestemmes

som anført i (9), (16), (18) og (25). Udgangspunktet for de historisk fastlagte

dødshyppigheder er således i stedet en risikogruppe, der ikke afhænger af

oprindelse. Den generelle sandsynlighed for at dø henholdsvis inden for de første

10 levedage, den resterende del af første leveår og i de øvrige aldersgrupper

bestemmes historisk som

�½



�½



(26)



�½











0,1



t g







1,

�½

1,





1







1



t g







1,

�½



1,

1

1,



1,



hvor nettoindvandringen

0,g

tx

er givet som (jf. summation af (2)

over oprindelse)

Side 28 af 132







�½

0,1



t g







t x







�½







Antallet af døde i hver oprindelsesgruppe bestemmes i fremskrivningen som

0,g ,o



1,g ,o

anført i ligning (7), (14), (18) og (23), men hvor

t ,0

t ,1



1, g ,o,1

er erstattet af en fremskrivning baseret på de tilsvarende ikke

oprindelsesfordelte størrelser i (26). De fremskrevne værdier for

dødshyppighederne bestemmes for individer der dør inden for de første 10

levedage ved en simpel ekstrapolation af den historiske trend, mens Lee-Carters

metode er anvendt for de resterende 0-årige og øvrige aldersgrupper.

2.2.5 Fødsler og fertilitet

Er primobefolkningen



1,g ,o

i (2) fastlagt, vises det her hvorledes antallet af

fødte

t g ,o

efterfølgende kan bestemmes ud fra fremskrevne fertilitetskvotienter

og retningslinier for fordeling af nyfødte på oprindelsesstatus givet moderens

oprindelse.

Antallet af fødsler blandt

x+1-årige

kvinder i oprindelsesgruppe

bestemmes som

kan





1,o

�½





1,o

x ,o , g

�½

" kvinder "

�½





1,o

tx ,o ,g

�½

" kvinder "





1,o ,g

�½

" kvinder "

hvor

tx ,o ,g

�½

" kvinder "

angiver mediobefolkningen af kvinder bestemt som i (2) og





1,o

er den tilknyttede mediobaserede fertilitetskvotient. Fra afsnit 2.2.1 vides

det, at ovenstående alternativt kan udtrykkes som





1,o

�½





1,o



t x



1," kvinder ",o





1," kvinder ",o





1," kvinder ",o





1," kvinder ",o







1,o

tx ," kvinder ",o





1,o





x ," kvinder ",o

hvor

kan betegnes som den primobaserede fertilitetskvotient.

Rapportering af samlet fertilitet tager dog generelt udgangspunkt i de

mediobaserede kvotienter, hvorfor disse også er anvendt i fremskrivningen

sammen med det mediobaserede risikobegreb, der enkelt kan beregnes fra (2),

når blot strømmene i (7) er fastlagt, hvilket jo netop ikke fordrer kendskab til

antallet af fødte. Det samlede antal fødte i oprindelsesgruppe

bestemmes

som i (27), idet man kun medregner fødsler, hvor moderens alder falder i

intervallet 15-49 år.

Side 29 af 132

 �½

�½







(27)

Metoden til fastlæggelse af nyfødtes køn og oprindelse gennemgås i

nedenstående afsnit.

2.2.6 Nyfødtes fordeling på køn og oprindelse

Fødslerne opdeles simpelt på køn ved at antage, at en konstant andel af alle

fødte er drenge. Det følger af definitionerne af opdelingen af befolkningen efter

oprindelse, at barnets oprindelse afhænger af såvel faderens som moderens

oprindelse, jf. afsnit 2.1. Derfor konstrueres på basis af historiske erfaringer en

sandsynlighedsfordeling for barnets oprindelse givet moderens. Denne

sammenhæng anvendes i fremskrivningen til at fordele børnene på

oprindelsesgrupper.

ixn

dad

)

som en rækkevektor af fødte

Til formålet defineres

�½

(



g ,ixn

g ,dad

)

som en

fordelt på barnets oprindelse og tilsvarende



�½

(







rækkevektor af fødte fordelt på moderens oprindelse. Der gælder følgende

sammenhæng

t g

�½ 

hvor

er en 9x9 matrix

, hvor hver række er en sandsynlighedsfordeling over

barnets oprindelse givet moderens oprindelse.

Det er langt fra alle kombinationer af oprindelse, der er mulige, f.eks. kan ingen

fødte være indvandrere. Matricen

angivende sandsynligheden for barnets

oprindelse givet moderens indeholder derfor et betydeligt antal nuller, jf. Tabel

Det antages, at der ikke fødes personer til restgruppen uden dansk statsborgerskab,

dan.

Side 30 af 132

Tabel 1. Fordelingen af barnets oprindelse givet moderens oprindelse

Barn

ixn

Moder

ixn

ixd

iwn

iwd

dxn

dxd

dwn

dwd

ixd

Iwn

iwd

dxn

dxd

dwn

dwd

Række-

sum



tixn

dxn



tixn

dxd



tixn



tixd



tixd

dxn



tixd

dxd



tiwn ,dwn



tiwn ,dwd



tiwd ,dwd



tiwn ,da



tiwd ,da



tiwd ,dwn



tdxn ,dxn



tdxn ,dxd



tdxn ,da



tdwn ,dwn



tdwn ,dwd



tdwn ,da

Første række i tabellen angiver mulighederne for barnets oprindelse, hvis

moderen er indvandrer fra et ikke-vestligt land uden dansk statsborgerskab. I

dette tilfælde kan barnet blive efterkommer fra et ikke-vestligt land uden dansk

statsborgerskab, hvis faderen er indvandrer uden dansk statsborgerskab.

Andelen af børn, der får denne oprindelse kaldes



tixn ,dxn

Hvis faderen er indvandrer med dansk statsborgerskab, er der mulighed for, at

barnet bliver karakteriseret som efterkommer fra et ikke-vestligt land med dansk

statsborgerskab.

Andelen af børn med en moder, der er indvandrer fra et ikke-

vestligt land, som får denne oprindelse betegnes



tixn ,dxd

Den tredje og sidste mulighed er, at barnet bliver af dansk oprindelse. Det er

tilfældet, hvis faderen er født i Danmark og har dansk statsborgerskab (dvs. hvis

faderen enten er efterkommer med dansk statsborgerskab eller af dansk

oprindelse). Den andel af børnene, der tildeles dansk oprindelse og som har en

moder, der er indvandret fra et ikke-vestligt land, benævnes



tixn ,da

Givet Danmarks Statistiks definitioner af befolkningens oprindelse vil alle børn,

hvis moder er indvandrer fra et ikke-vestligt land blive karakteriseret ved en af

disse tre oprindelser. Der gælder således



tixn,dxn





tixn,dxd





tixn,da

�½

Dansk statsborgerskab kan fravælges.

Side 31 af 132

Det ved anvendelse af matricen fundne

t g

kan således efterfølgende indsættes i

(11), så de øvrige flows for 0-årige kan beregnes.

2.3 Eksogene parametre i fremskrivningsmodellen

Som anført i gennemgangen af modellen er det nødvendigt at skønne over den

fremtidige udvikling i en række eksogene parametre for at kunne gennemføre en

fremskrivning.

Fremskrivning

ind-,

ud-

statsborgerskabsskiftssandsynlighederne i (9) og (16), omfanget af indvandring

uden dansk statsborgerskab, dødssandsynlighederne i (26) samt

fertilitetskvotienterne i afsnit 2.2.5 er derfor centrale. Dødelighed og fertilitet

estimeres ved ekstrapolation af den historiske udvikling. Frekvenser for

genindvandring, udvandring og statsborgerskabsskifte bestemmes som et

gennemsnit over de seneste tre års observationer kombineret med en antagelse

om, at denne udvikling fastholdes i fremtiden. Indvandring af indvandrere uden

dansk statsborgerskab fastholdes på et givet niveau i fremtiden, der er fastlagt ud

fra en særskilt vurdering af hvorvidt de seneste års udvikling indikerer et

permanent trendskifte og derfor i et vist omfang bør influere på det fremtidige

niveau.

Fremskrivning af de enkelte eksogene variable gennemgås særskilt i denne

udgivelses efterfølgende kapitler. Nedenfor er dog givet en oversigt over, hvad

der skal fastlægges:



: Dødelighed fordelt på alder og køn.



: Fertilitet fordelt på alder og moderens oprindelse.

: Udvandringssandsynlighed fordelt på alder, køn og oprindelse.

t x

: Genindvandringssandsynlighed fordelt på alder, køn og oprindelse.

: Sandsynlighed for at skifte til dansk statsborgerskab fordelt på

alder, køn og oprindelsesgrupperne

dan, ixn, iwn, dxn

dwn.



t x

for

o 



ixn,iwn

�½

: Indvandring fordelt på alder, køn og

oprindelse, der ikke har karakter af genindvandring.

Datagrundlaget anvendt til fremskrivning af ovenstående parametre beskrives i

det følgende kapitel.

Side 32 af 132

3 Datagrundlaget for fremskrivningsmodellen

Med udarbejdelsen af samordnede fremskrivninger med Danmarks Statistik er

datagrundlaget, som nævnt indledningsvist, søgt forbedret gennem udtræk fra

PersonStatistikDatabasen (PSD). Databasen opdateres løbende såfremt, der

tilkommer nye oplysninger eller korrektioner vedrørende historisk data. Typisk vil

dette udmønte sig i, at der kan konstateres små ændringer relativt til det

datagrundlag, der anvendtes til 2012-fremskrivningen. Data for demografiske

strømme omfatter alt afhængigt af deltaljeringsniveau årene 1990/1992-2012,

mens der for beholdninger også haves data for 2013.

For hver af de 10 befolkningsgrupper omfatter data følgende variable:



Antal mænd og kvinder (fordelt på alder).

Antal døde mænd og kvinder (fordelt på alder).

Antal døde piger og drenge fordelt på dage inden for det første leveår.

Antal fødte drenge og piger (fordelt på moders alder).

Sandsynlighedsfordeling til fordeling af fødte på oprindelse givet

moderens.

Antal indvandrede mænd og kvinder (fordelt på alder).

Antal udvandrede mænd og kvinder (fordelt på alder).

Antal mænd og kvinder, der skifter til dansk statsborgerskab (fordelt på

alder).



3.1 Dødelighedsdata

Med overgangen til anvendelse af PSD som datagrundlag fra og med år 2010,

beregnes dødssandsynligheder med udgangspunkt i data herfra, hvorfor

dødeligheder udtrukket fra Human Mortality Database (HMD) ikke længere

anvendes som estimationsgrundlag i Lee-Carter metoden. Som udgangspunkt er

datakilden til denne også Danmarks Statistik, men anvendelsen af HMD som kilde

var problematisk, idet det nyeste data først var tilgængeligt i slutningen af

kalenderåret. Således ville data for 2012 først kunne rekvireres i efteråret 2013.

Anvendelse af data fra PSD har desuden den fordel, at historisk data opdateres.

Side 33 af 132

Data fra HMD anvendes dog fortsat i nærværende publikation til illustration af

udviklingen i dødelighed i perioden forud for år 1990

. Det er centralt at

bemærke, at dødeligheder fra HMD er opgjort på såkaldte A-grupper, mens

dødeligheder for perioden efter år 1990 er opgjort iht. B-gruppe formatet:

Definition:

Dødelighed for alder x opgjort iht. A-gruppe formatet vedrører antallet

af personer, der i løbet af et år er døde med alderen x. Dødelighed for alder x

opgjort på B-grupper, refererer til de personer, der er døde i løbet af året og som

havde alderen x - 1 ved årets begyndelse.

Det i fremskrivningen anvendte format for data beskrivende demografiske

strømme er B-grupper, hvor de demografiske begivenheder er kendetegnet ved

at vedrøre kohorter. Figur 2 illustrerer definitionen af data opgjort efter

henholdsvis A- og B-gruppe formatet.

Figur 2. Datakonventioner i HMD-Databasen (A-grupper) og i DREAMs

befolkningsfremskrivningsmodel (B-grupper)

X+1

x,t

X-1

t+1

t+2

Den i diagrammet optrukne firkant indikerer, hvorledes døde

x-årige

på tidspunkt

opgøres iht. A-gruppeformatet anvendt i HMD. Denne gruppe benævnes A

x,t

Parallelogrammet benævnt B

x,t

angiver den tilsvarende B-gruppedødelighed.

Bemærk, at det er alderen ultimo år

der her angiver, hvilken aldersklasse B-

gruppen tilhører.

3.2 Rapportering af restlevetid

Til rapportering af restlevetid udglattes de estimerede dødelighedsdata over tid

og alder, hvorved de bringes på en form, der for langt størstedelen af de

Fordelen ved HMD er, at databasen bl.a. indeholder årlige dødelighedsdata for Danmark fordelt

på alder og køn i en meget lang historisk periode (1835-2010), hvilket i vidt omfang muliggør

eksperimenter med undersøgelse af fremskrivningspræcision af de anvendte metoder.

Side 34 af 132

historiske år, er sammenlignelig med data i dødelighedstavlerne i Statistikbanken.

Denne tilpasning er hensigtsmæssig, idet det er indholdet i de officielle

dødelighedstavler, der benyttes til fastlæggelse af indekseringstakten i

tilbagetrækningsalderen i Velfærdsaftalen 2006 og senest i Reformpakken 2020.

Til og med dødelighedstavlen 2007:2008 er restlevetiderne hos Danmarks

Statistik baseret på et gennemsnit af fire B-grupper. De i Figur 3 indtegnede B-

grupper danner således udgangspunkt for data for dødelighed og restlevetid for

alder

i dødelighedstavlen dateret

til

t + 1

. Fra og med dødelighedstavlen for

2008:2009 har Danmarks Statistik ændret metode og beregningsgrundlag for

beregning af middellevetider. Disse baseres på nu oplysninger fra CPR-registeret

og beregninger på C-grupper, jf. Danmark Statistik (2010b)

. I modsætning til de

tidligere dødelighedstavler er det nye format vanskeligt at approksimere ved

medioficering. Således vil de i nærværende publikation beregnede

middellevetider for de seneste historiske år 2008:2009 - 2011:2012 afvige fra

DSTs opgørelse. DSTs metode er funderet i individdata og kan ikke anvendes på

fremskrevet data.

Til og med tavlen 1989:1990 approksimeres DSTs dødelighedstavler gennem

medioficering i tid over to A-gruppe dødeligheder, da dette er det tilgængelige

datagrundlag for den pågældende periode. I den efterfølgende historiske periode

og gennem hele fremskrivningsperioden rapporteres restlevetider baseret på

medioficering i tid og alder over fire B-gruppe dødeligheder, netop svarende til

tilgangen anvendt af Danmarks Statistik forud for tavlen 2008:2009. Af Figur 3

fremgår det også hvorfor gennemsnittet af A-grupperne A

x,t

og A

x,t+1

er en rimelig

approksimation til dødshyppigheden for en

x-årig

som denne fremgår af

Danmarks Statistiks dødelighedstavle dateret

til

+ 1.

Danmarks Statistik (2003): s. 254. For x-årige beregnes dødeligheden i tavlen

til

t + 1

som følger.

Først beregnes en dødshyppigheden for

x,t

x,t+1

under ét som summen af de døde i de to

grupper divideret med det samlede antal

x-1-årige

primo år

og primo år

t + 1.

På tilsvarende vis

beregnes dødshyppigheden samlet for

x+1,t

x+1,t+1

, hvor der divideres med antallet af

årige primo år

og primo år

t + 1.

Dødshyppigheden for

x-årige

konstrueres slutteligt som

gennemsnittet over de to beregnede hyppigheder. Herefter kan restlevetiden beregnes.

Se også

http://www.dst.dk/Vejviser/Portal/Befolkning/Middellevetid.aspx.

Side 35 af 132

Figur 3. Korrespondance mellem medioficerede A- og B-gruppe dødeligheder

X+2

x+1,tDS

x,t

x,tDS

x+1,t+1DS

x,t+1

x,t+1DS

X+1

X-1

t+1

t+2

Det er centralt at bemærke, at Danmarks Statistiks offentliggørelse af

dødeligheden for 0-årige baserer sig på C-grupper i samtlige dødelighedstavler.

Man kan derfor ikke opnå fuldstændig approksimation til disse tavler hvad angår

dødeligheden og dermed restlevetiden for 0-årige.

Definition:

En dødelighed for alder x opgjort på C-grupper måler hvor mange

personer, som opnår alderen x i løbet af år t, der er døde inden de bliver x+1 år.

Side 36 af 132

4 Dødelighed og forventet levetid

Estimation af dødelighed til befolkningsmodellen bygger på den af Lee & Carter

(1992) foreslåede metode til fremskrivning af aldersbetingede dødeligheder.

Metoden er tidligere blevet brugt af Velfærdskommissionen (2006) og i DREAMs

befolkningsfremskrivning siden 2006

. I de senere år har den opnået betydelig

udbredelse, og anvendes af internationale institutioner som f.eks. FN’s

Population

Division,

der

foretager

sammenhængende

langsigtede

befolkningsfremskrivninger for alle verdens lande, jf. United Nations (2004).

Herudover anvendes metoden til befolkningsfremskrivninger i en række lande,

f.eks. Sverige, jf. Statistiska centralbyrån (2003, 2005)

, og endelig anvendes den

også af en række forskergrupper. Den stigende udbredelse har betydet, at der er

foretaget en ganske omfattende afprøvning af metoden på forskellige lande og

generelt findes, at metoden har gode fremskrivningsegenskaber.

I forbindelse med udarbejdelsen af DREAMs befolkningsfremskrivning i 2006 blev

gennemført en analyse, der fokuserede på betydningen for estimation og

fremskrivning af at opdele den samlede historiske dataserie i delperioder. På den

baggrund fandtes bl.a., at man kunne opnå den bedste fremskrivningspræcision

ved at vælge en relativ kort dataserie fra 1990 og frem. Grundet den relative

markante stigning i væksten i restlevetiden fra og med 1995 medfører

anvendelse af en dataserie startende før dette tidspunkt, at den fremskrevne

kortsigtede udvikling i den aldersbetingede restlevetid vil ligge i underkanten af

den seneste historiske udvikling. Anvendelse af Lee-Carter metoden indebærer,

at væksten i restlevetiden over tid vil aftage, således at den langsigtede vækst

svarer til trenden i en længere dataserie. Fordelen ved at anvende en dataserie

omfattende relativt få år er, at udviklingstendensen for perioden fortsætter på

kort sigt. Ved anvendelse af længere dataserier omfattende betydelige perioder

med lav vækst, vil man i modsætning hertil opnå en noget lavere fremtidig vækst

end de seneste år tilsiger. Ulempen ved at anvende en kort dataserie er, at

estimationen af udviklingen i den aldersbetingede dødelighed i uhensigtsmæssig

grad kan påvirkes af udsving gennem perioden.

I de to første afsnit præsenteres hovedtrækkene i den klassiske Lee-Carter

tilgang, mens udvidelser hertil beskrives i det efterfølgende afsnit. I afsnit 4.4

omtales betydningen af valg af dataperiode og estimationsresultater

præsenteres i afsnit 4.5. Dernæst redegøres for estimation og fremskrivning af

dødsfald blandt de ældste ældre og nyfødte. I afsnit 4.8 og 4.9 præsenteres den

af fremskrivningen foranledigede udvikling i aldersfordelt dødelighed. Den

Se Danmarks fremtidige befolkning – Befolkningsfremskrivning 2006, DREAM for en evaluering af

Lee-Carter metoden, samt dens udbredelse og i litteraturen foreslåede udvidelser.

Norge anvender andre statistiske estimationsmetoder, som har en mere kompleks struktur end

Lee-Carter metoden, jf. Keilman, Pham & Hetland (2001).

En oversigt over forskellige anvendte metoder til befolkningsfremskrivning og en fortegnelse over

hvilke principper der anvendes i en lang række institutioner findes i Andreev & Vaupel (2006)

Side 37 af 132

resterende del af kapitlet er dedikeret til definition af restlevetid og

fremskrivningens indvirkning på udviklingen i denne.

Hovedresultaterne i fremskrivningen er, at middellevetiden frem til år 2100 stiger

med 13,4 år for mænd og 10,2 år for kvinder

. Den absolutte vækst i

middellevetiden i det 21. århundrede er for mænd ca. 2/3 af væksten gennem

det 20. århundrede. For kvinder er der tale om en reduktion på ca. 50 pct. relativt

til erfaringerne fra det 20. århundrede. I forhold til argumentationen i Oeppen &

Vaupel (2002), som peger på en konstant årlig absolut vækst i middellevetiden, er

der derfor tale om et meget forsigtigt skøn. En væsentlig del af forklaringen på

den lavere vækst i middellevetiden er, at betydningen af fortsatte reduktioner i

spæd- og småbørnsdødeligheden er mere begrænsede end i den historiske

periode, fordi dødeligheden for disse grupper allerede er reduceret betydeligt.

Betragtes i stedet udviklingen i restlevetiden for 60-årige, har forskellen mellem

væksten i det 20. århundrede og den fremskrevne udvikling for det 21.

århundrede det modsatte fortegn. I det 20. århundrede voksede restlevetiden for

60-årige mænd med 4,5 år, mens væksten var på 6,5 år for kvinder. I

fremskrivningen fås, at den tilsvarende vækst fra 2000 til 2100 er 12,9 år for

mænd og 10,5 år for kvinder

. Dette afspejler at fremtidige reduktioner i

dødelighederne forventes at få relativ større effekt på restlevetiden for ældre

end for yngre.

Relativt til sidste års fremskrivning er middellevetiden i år 2100 steget med 0,3 år

for både mænd og med 0,2 år for kvinder, mens restlevetiden er øget med 0,2 år

for begge køn.

4.1 Lee-Carter metoden

Den grundlæggende idé i Lee-Carters metode er, at den fremtidige udvikling i en

given aldersbetinget dødelighed kan beskrives ud fra den historiske udvikling i de

aldersbetingede dødeligheder. Analysen gennemføres på tværs af oprindelse,

men for hvert køn.

For at reducere dimensionen i problemet antages, at der er en betydelig

regularitet i udviklingen af de aldersspecifikke dødeligheder, således at de kan

beskrives ved hjælp af tre elementer: Et aldersspecifikt element, der er

uafhængig

tidspunktet,

tidsafhængigt

element,

benævnt

mortalitetsindekset, beskrivende udviklingen i den samlede dødelighed og et

tidsuafhængigt gennemslag af udviklingen i mortalitetsindekset på dødeligheden

i den enkelte aldersgruppe. Konkret antages følgende sammenhæng:

Restlevetiderne er beregnet med afsæt i medioficerede dødeligheder iht. beskrivelsen i afsnit 3.2.

Samtlige niveauer og ændringer i restlevetiden i nærværende kapitel vedrører sidste kalenderår

anvendt til medioficeringen. Således benyttes restlevetid for årene x1:x2 og y1:y2 til at angive

ændringen fra x2 til y2.

Fra 2012-2100 er ændringen i restlevetiden for 60-årige 10,4 år for mænd og 8,3 år for kvinder.

Side 38 af 132

ln(

)

�½





hvor definitionen af dimensionerne er identisk med de i kapitel 0 anvendte. I

øvrigt gælder, at



er de køns-, alders- og tidsafhængige dødssandsynligheder.

er den køns- og aldersafhængige del, som i praksis er et gennemsnit

over de logaritmiske dødeligheder i estimationsperioden.



er den køns- og tidsafhængige udvikling i dødeligheden benævnt

mortalitetsindekset.



x ,g

vægter gennemslaget af

på dødelighed for aldersgruppe



tx ,g

er et køns-, alders- og tidsafhængigt fejlled.

x ,g

Parameteren

angiver den grundliggende form på aldersprofilen over tid og

beregnes i praksis som gennemsnittet over tid af de logaritmiske dødeligheder.

Den aldersafhængige parameter

x ,g

angiver afvigelser fra den generelle profil

over tid. Central for fremskrivningen er den aldersuafhængige parameter

der beskriver udviklingen over tid i den generelle dødelighed og benævnes derfor

mortalitetsindekset. Når det fælles niveau ændres over tid, vægter parameteren

således effekten på de aldersafhængige logaritmiske dødeligheder og

tillader således forskellig vækst i dødelighed på tværs af alder. Idet

mortalitetsindekset vil være aftagende over tid, indikerer en positiv indgang i

vektoren

, at dødeligheden for den pågældende aldersgruppe er aftagende,

mens en negativ indgang indikerer det modsatte. Aftager mortalitetsindekset

lineært, dvs.

er konstant, vil de logaritmiske dødeligheder også aftage

lineært over tid med proportionalitetsfaktoren

. Dette medfører, at

dødelighedshyppighederne er eksponentielt aftagende.

Denne formulering indebærer blandt andet, at forholdet mellem vækstraterne i

dødeligheden for to forskellige aldersgrupper,

er konstant og lig med

. Udviklingen i dødelighederne bestemmes af udviklingen i

mortalitetsindekset,

Denne estimeres i Lee-Carter (1992) som en

random

walk med drift.

Det betyder, at der i fremskrivningen antages en konstant

fremtidig vækstrate i dødeligheden for en given årgang.

For den konkrete estimationsprocedure henvises til f.eks. Haldrup (2004).

Side 39 af 132

4.2 Estimation af Lee-Carter modellen

I henhold til Lee & Carter (1992) pålægges modellen restriktioner med det formål

at bestemme en entydig løsning af parametrene

dataår:

. Således

anvendes følgende to restriktioner, hvor

er henholdsvis første og sidste



�½



�½

x ,g

Indledningsvist estimeres parameteren

som gennemsnittet over de

logaritmiske dødssandsynligheder i dataperioden, dvs.

�½







�½





Efterfølgende beregnes en matrix bestående af de centrerede logaritmiske

sandsynligheder som



tx ,g





x ,g

hvorefter denne påføres en Singular Value Decomposition fra hvilken estimater

for henholdsvis

x ,g

kan uddrages som egenvektorer.

Således er fundet et initialt bud på modellens parametre. Der er imidlertid ikke

nogen garanti for, at der for et givet år gælder, at antallet af døde beregnet ud

fra estimationen, svarer til det faktiske antal døde. Derfor indeholder den

oprindelige Lee-Carter formulering en efterfølgende opdatering af

mortalitetsindekset, der sikrer dette. Haldrup (2004) følger denne procedure. I

nærværende fremskrivning er det i stedet valgt at opdatere mortalitetsindekset,

så der for hvert år i dataperioden opnås sammenfald med middellevetiden.

Denne fremgangsmåde er ligeledes anvendt i Lee & Miller (2001). Årsagen til, at

levealderen anvendes i stedet for antallet af døde er, at førstnævnte vurderes

som en mere relevant målvariabel. Således er det også fremadrettet udviklingen i

restlevetiden, der er interessant frem for antallet af dødsfald.

Ved anvendelse af de initiale parameterestimater for

bestemmes

mortalitetsindekset ved anvendelse af en Newton-Raphson algoritme således, at

forventet levealder i hele dataperioden opnås. I tråd med fremgangsmåden i

Haldrup (2004) foretages efterfølgende en yderligere modifikation. Idet det nye

x ,g

Side 40 af 132

bud på mortalitetsindekset tages for givet, findes ved OLS regression af dette på

de logaritmiske dødelighedsrater opdaterede bud på de aldersafhængige

parametre

. Dette kan opfattes som første trin i en iterativ proces,

der leder til værdier af

, som er indbyrdes konsistente med

. I

denne analyse suppleres dette med andet trin i den iterative proces, idet der

med de opdaterede værdier for

beregnes et nyt mortalitetsindeks, så

der igen opnås sammenfald med faktisk levealder. Et eksperiment omhandlende

fremskrivningspræcisionen afslører, at tilføjelsen af dette ekstra trin forbedrer

præcisionen marginalt. Samtidig opnås tilpasning til den faktiske levealder.

Den centrale variabel for fremskrivningen af udviklingen i levetiden er

udviklingen i mortalitetsindekset,

. Det er derfor centralt, at processen

beskrivende udviklingen i dette indeks fastlægges og er statistisk velspecificeret.

Denne fastlæggelse baseres på statistiske test suppleret med grafisk inspektion af

serien.

Ovenstående procedure udgør den standardiserede estimation af Lee-Carter

modellen. Med henblik på yderligere forbedring af fremskrivningspræcisionen

gennemføres dog to yderligere korrektioner, der anbefales i den efterhånden

omfattende litteratur, der søger at forbedre den klassiske tilgang.

4.3 Korrektioner af fremskrivningsmetoden

Som udvidelse til ovenstående foretages i nærværende afsnit to yderligere

korrektioner, der søger at afhjælpe nogle åbenbare ulemper ved den klassiske

tilgang for estimation af parametrene i Lee-Carter modellen.

For det første sikres, at den aldersbetingede restlevetid i fremskrivningens første

år ikke foretager spring i forhold til den aldersbetingede restlevetid i det seneste

år i dataperioden. Da Lee-Carter metoden ekstrapolerer med udgangspunkt i

estimerede værdier for aldersbetinget dødelighed, kan dette afstedkomme en

ikke ubetydelig afvigelse mellem den seneste observation og estimatet for

samme. Bell (1997) foreslår en metode til at forhindre sådanne

uhensigtsmæssige afvigelser, så spring mellem den historiske og fremskrevne

dataserie undgås. Der anvendes en modificeret udgave af denne metode i

nærværende fremskrivning.

For det andet kan Lee-Carter metoden føre til uhensigtsmæssige forskelle i de

årlige reduktioner af den aldersbetingede dødelighed i aldersgrupper, der ligger i

nærheden af hinanden. Dette tilskrives, at effekten på den enkelte

aldersspecifikke

dødelighed

fremkommer

ved,

udviklingen

mortalitetsindekset multipliceres med den aldersspecifikke vektor

Tilfældige udsving mellem to på hinanden følgende aldre i

forstærkes derfor

uhensigtsmæssigt. Problemet er størst, hvis metoden baseres på en kortere

Side 41 af 132

dataserie og samtidig anvendes til længere fremskrivninger. De Jong & Tickle

(2005) foreslår, at der anvendes en udglatningsmekanisme til afhjælpning af

problemet. Den neden for anvendte udglatningsmekanisme afviger fra den i den

originale fremstilling foreslåede, men har kvalitativt samme effekt.

4.3.1 Bell’s metode samt modifikation heraf

Med henblik på at eliminere de spring i dødshyppigheder og dermed

restlevetider, der kan forekomme mellem det sidste historiske år og det første

fremskrevne, foreslår Bell (1997) anvendelse af en korrektionsmetode. I henhold

til Bells fremstilling kan problemet med spring- eller knækpunkter elimineres ved

at påføre hele fremskrivningen en biaskorrektion, hvis omfang bestemmes af

forskellen mellem nyeste tilgængelige historiske dødeligheder og estimerede

dødeligheder for det samme år. Hvis

således angiver sidste år i den historiske

periode, da vil den aldersafhængige bias mellem de logaritmiske dødeligheder

være givet som



�½











x ,g

er henholdsvis de

hvor

er det sidste historiske år, mens

observerede og estimerede dødeligheder det pågældende år.

Bell’s foreslåede biasjustering indebærer, at den beregnede bias tillægges

samtlige logaritmiske dødeligheder i fremskrivningen. Den biasjusterede

fremskrivning bliver for fremskrivningsperiode

dermed

ln(

,

)



�½ ln(

,

)  

Ovenstående kan alternativt formuleres som

0

ln(

,

)



�½ ln(

,

)  ln(

)  ln(

)

�½



 ln(

) 



�½







  ln(

)





Det følger, at biaskorrektionen påvirker dødshyppighederne på følgende måde

ln(



)



�½

ln(



)

 











�½

exp







exp







hvorfor det kan konstateres, at biaskorrektionen fremkommer ved multiplikation

af de oprindelige fremskrevne dødeligheder med en aldersafhængig konstant.

Som det ses af første linje i systemet ovenfor, er forskellen mellem de

Side 42 af 132

biaskorrigerede estimerede logaritmiske dødeligheder og de ikke-biaskorrigerede

estimerede logaritmiske dødeligheder per definition konstant over tid. Tages

udgangspunkt i dødshyppighederne kan differencen mellem det biaskorrigerede

og det ikke-biaskorrigerede estimat udtrykkes som













�½



exp













Eftersom de fremskrevne dødshyppigheder aftager eksponentielt over tid, vil

forskellen mellem de biaskorrigerede og ikke-biaskorrigerede dødshyppigheder

dermed også følge en eksponentiel funktionsform over tid og konvergere mod et

givet niveau. Idet restlevetiden er baseret på udviklingen i dødeligheden, vil

forskellen over tid mellem den biaskorrigerede og den ikke-biaskorrigerede

restlevetid også være afledt af den eksponentielle form.

Til trods for, at Bells metode eliminerer et eventuelt spring mellem restlevetider i

det sidste dataår og første fremskrivningsår, kan metodens berettigelse

diskuteres. Ved anvendelse af metoden forbedrer man fremskrivningens

egenskaber første år, men idet korrektionen som specificeret ovenfor ikke er

tidsafhængig, bør der gøres forsøg på at redegøre for vedvarende konsekvenser

og vurdere disse i forhold til gevinsten første år.

Det er i forbindelse med udarbejdelsen af tidligere befolkningsfremskrivninger

undersøgt, hvorvidt fremskrivningspræcisionen påvirkes af anvendelse af

metoden

. Undersøgelserne resulterede i, at en modificeret version af Bell’s

metode anvendes. Modifikationen indebærer for det første, at korrektionen

udelukkende anvendes på 50-99-årige. Idet dødshyppigheden er væsentlig højere

i disse aldersgrupper end i de yngre, er det for disse grupper, at korrektionen alt

andet lige vil have den største effekt. For det andet søges korrektionens negative

effekter på længere sigt reduceret ved at lade effekten af korrektionen aftage

over tid. Biaskorrektionen



multipliceres således med potensfunktionen

�½



, der for



< 1 er aftagende over tid. Funktionen sikrer desuden, at

biaskorrektionen i sidste dataår (t = 0) er uændret.

Der er to yderpunkter for potensfunktionen. I tilfældet



= 0 forekommer ingen

biaskorrektion af de estimerede og fremskrevne dødeligheder. I det andet

yderpunkt er



= 1 og her er

�½

for alle

således at Bells biaskorrektion

implementeres i sin oprindelige form.

Det er her valgt at fastlægge parameteren



således, at halveringstiden for

korrektionen,

1 / 2

, bliver 10 år. Idet halveringstiden defineres som

Se DREAMs befolkningsfremskrivning 2006.

Side 43 af 132

ln(

)

�½

ln(



)

da kan



beregnes ved



ln(

)





�½

exp













som med en halveringstid på 10 år giver værdien 0,93303. For fuldstændighedens

skyld

bliver

den

modificerede

biasjusterede

fremskrivning

for

fremskrivningsperiode

dermed

ln(m



)



�½

ln(m



)







x ,g



0, x



4.3.2 Udglatning af dødeligheder for forskellige aldre i fremskrivningen

For at forhindre, at der ved lange fremskrivningshorisonter baseret på kortere

dataserier kan forekomme forholdsvis store og ikke-demografisk forklarlige

fluktuationer i dødelighedsprofilerne, påføres fremskrivningen slutteligt en

udglattende korrektion. Dermed modificeres de estimerede dødshyppigheder i

fremskrivningen, hvilket også indebærer, at de ovenfor præsenterede

biasjusterede rater korrigeres yderligere.

Lad

ln(



)

angive de fremskrevne logaritmiske dødeligheder efter den

udglattende modifikation. Denne kan for

> 0 udtrykkes som



ln(



)

�½









 











�½









 

















�½

ln(



)









 

























�½

ln(



)



















hvor

her angiver det sidste år for hvilket data er tilgængeligt og







= 0 for

x ,g



50. Parameteren

er en udglattet version af estimatet

. I praksis er

x ,g

en såkaldt

cubic spline

, hvilket indebærer, at der mellem samtlige punkter

x ,g

er tilpasset et polynomium af tredje grad under antagelser om minimering

x ,g



af såvel kurvatur i

x ,g

som af kvadratisk afstand til indgangene i

En formel definition af

cubic spline

begrebet gives i afsnit 5.4 omhandlende estimation af

fertilitet.

Side 44 af 132

Udglatningen indebærer, at afvigelser i logaritmen af dødeligheden fra en alder

til

den

næste

reduceres

eller

elimineres.

Derimod

påvirker

udglatningsproceduren ikke det fænomen, at estimationen kan indebære, at

reduktionen i den aldersbetingede dødelighed er voksende med alderen for visse

aldersgrupper.

4.4 Valg af dataperiode

I forbindelse med DREAMs befolkningsfremskrivning fra 2006 blev der lavet en

analyse af forskellige dataperioders betydning for fremskrivningen af dødelighed.

Den historiske udvikling viser, at både det gennemsnitlige fald i (logaritmen til)

dødelighederne og sammensætningen af faldet på aldersgrupper har tendens til

at være konstant over lange perioder. At dette er tilfældet for stort set alle lande,

er netop årsagen til Lee-Carter metodens betydelige succes og udbredelse.

Samtidig viser analysen af dødelighedsudviklingen i Danmark, at der er givne

forholdsvis kortvarige perioder, hvor stabiliteten i dødelighedsudviklingen

ophører for herefter at blive genetableret med en ændret vækstrate og en

ændret aldersmæssig sammensætning.

Lee-Carter metoden fører til, at fremskrivningen vil have tendens til at forlænge

det gennemsnitlige observerede årlige fald i (logaritmen til) dødelighederne

igennem estimationsperioden til fremskrivningsperioden. Samtidig vil

alderssammensætningen af faldet i dødelighederne også have tendens til at

afspejle den gennemsnitlige aldersfordeling af dødelighedsfaldet. Analysen af

den estimerede effekt på faldet i de aldersafhængige dødeligheder viser, at

estimaterne af

ikke er robuste over for valg af dataperiode. Således

kan valg af dataperiode derfor have afgørende indflydelse på fremskrivningens

resultater.

Baseres fremskrivningen på den seneste periode med ensartet vækst i

restlevetiden, hvilket omfatter årene fra 1995 og frem, vil det indebære, at den

vil have tendens til at forlænge udviklingen fra denne periode. Da data indikerer,

at strukturen i dødelighedsudviklingen fastholdes i længere perioder, er der

grund til at forvente, at en fremskrivning baseret på denne dataserie vil have de

bedste fremskrivningsegenskaber på kortere sigt.

Årsagen, til at det kan være relevant at inddrage længere dataperioder, er både

den betydelige usikkerhed med hensyn til estimaterne og hensynet til det

længere sigt. Den seneste periode er karakteriseret ved at have de største fald i

(logaritmen til) dødelighederne målt over alle perioder i det 20. århundrede. Der

er derfor en risiko for, at en kort dataserie vil have en tendens til at overvurdere

den årlige vækst i middellevetiden på langt sigt.

Det endelige valg af længden af dataserien er derfor et kompromis mellem den

undervurdering af middellevetidsvæksten på kortere sigt, som en lang dataserie

Side 45 af 132

medfører og den mulige fremtidige overvurdering af middellevetidsvæksten, som

anvendelsen af en kort dataserie kan føre til.

I lighed med de generelle anbefalinger i litteraturen er det derfor valgt at basere

fremskrivningens hovedforløb på en kort dataperiode, som hovedsageligt dækker

perioden efter 1995. Af hensyn til usikkerheden på de aldersbetingede estimater

er det nødvendigt at udvide antallet af observationer. Den anvendte dataserie

omfatter perioden 1990-2012. En fremskrivning baseret på denne tidsserie har

for både mænd og kvinder den egenskab, at den langsigtede vækstrate i

middellevetiden konvergerer mod vækstraten for en fremskrivning baseret på en

længere dataperiode. På det korte sigt indebærer denne fremskrivning en vis

opbremsning i væksten i middellevetiden i forhold til den historiske trend.

4.5 Estimationsresultater

I det følgende gennemgås estimationsresultaterne baseret på dataserien

omfattende årene 1990-2012. De aldersfordelte dødshyppigheder beregnes

indledningsvist som anført i ligning (26) afsnit 2.2.4. Det er udelukkende

dødssandsynlighederne for individer, der ikke dør inden for de første 10

levedage, der inddrages i Lee-Carter estimationen, dvs.



Tilpasningen af modellens parametre til middellevetiden, jf. afsnit 4.2, er med

udeladelsen af dødsfald inden for de første 10 levedage i realiteten en tilpasning

til restlevetiden for et individ, der har overlevet de første 10 dage.

Med udeladelsen af dødsfald inden for de første 10 levedage i Lee-Carter

estimationen tillades som tidligere nævnt estimation og fremskrivning af en

særskilt trend for dødelighed indtrædende umiddelbart efter fødslen, hvilket

beskrives i afsnit 4.7. Det er udelukkende dødeligheder for 0-99-årige, der

inddrages i Lee-Carter estimationen. Dette skal tilskrives, at datatætheden for

ældre aldersgrupper er relativ begrænset. Alternativt er der derfor valgt en

særskilt ekstrapolativ tilgang til modellering af dødelighedsudviklingen for de

ældste ældre, som baseres på resultatet af Lee-Carter fremskrivningen. Den

anvendte fremgangsmåde er beskrevet i afsnit 4.6.

Nedenstående modeller for mortalitetsindekset,

, findes efter test at være

velspecificerede for fremskrivningerne for hhv. mænd og kvinder.

Standardafvigelsen på de estimerede koefficienter er angivet i parentes



tmænd

�½ -2,9977

(0,4451)



tkvinder

�½ -2,7465

(0,6417)





mænd

�½ 2,0878





kvinder

�½ 3,0098

Side 46 af 132

Fremskrivningen af mortalitetsindekset er for både mænd og kvinder beskrevet

ved en

random walk med drift.

Den valgte proces er dermed identisk med

processen anvendt i 2012-fremskrivningen.

De estimerede og fremskrevne værdier for

er sammen med det tilhørende

95 % konfidensinterval illustreret i Figur 4. Mortalitetsindekset er den eneste

kilde til angivelse af statistisk usikkerhed i fremskrivningen, og det kan således

synes utilfredsstillende, at der ikke er knyttet usikkerhed til de aldersafhængige

parametre

. Dette er dog en generel egenskab ved ikke-stokastiske

modeller, hvor de vitale begivenheder ikke tilknyttes en sandsynlighed. At

begivenhederne ikke tillægges en bestemt sandsynlighed for at indfinde sig i

fremtiden er desuden det, der kendetegner en fremskrivning frem for en

prognose.

Sammen med de estimerede værdier af gennemslaget på de aldersbetingede

x ,g

dødeligheder,

, af et givet fald i dødelighedsindekset,

, kan dette

x ,g

anvendes til at finde de aldersbetingede procentvise reduktioner i

dødelighederne i de to fremskrivninger. Bemærk, at det fremgår af Figur 4,

hvorledes restriktionen



�½

er opfyldt i estimationsperioden.

fremskrevet

mortalitetsindeks

samt

Figur 4. Estimeret

konfidensinterval

Mæ

Kvinder

1990

-25

-50

2000

2010

2020

2030

2040

2050

-25

-50

1990

-25

-50

2000

2010

2020

2030

2040

2050

-25

-50

-75

-100

-125

-150

-175

-75

-100

-125

-150

-175

-75

-100

-125

-75

-100

-125

-150

-175

-150

-175

Kilde: Egne beregninger

I Figur 5 og Figur 6 er afbilledet estimaterne for henholdsvis den gennemsnitlige

aldersbetingede dødelighed,

x ,g

, samt den aldersbetingede vægtning,

x ,g

, af

ændringen i mortalitetsindekset,

. Endvidere er i Figur 6 angivet udviklingen i



x ,g

, der udglatter

x ,g

over alder, jf. afsnit 4.3.2.

Side 47 af 132

Det ses, at den gennemsnitlige aldersbetingede dødelighed for både mænd og

kvinder er forholdsvis glat, og at fluktuationer primært indtræffer i aldersklasser

med meget få dødsfald. Endvidere kan det bemærkes, at der for 30-99-årige er

en tendens til at dødeligheden vokser eksponentielt med alderen. Dette svarer

til, at risikoen for at dø vokser med en fast procent pr. alderstrin. Fænomenet

benævnes Gompertz´ lov, jf. Gompertz (1825).

Niveauet for den gennemsnitlige dødelighed er for alle aldersklasser lavere for

kvinder, og specielt er ungdomsdødeligheden i aldersklasserne 15-30 år markant

højere for mænd, jf. Figur 5.

Figur 5. Estimerede værdier for

a(x)

Mænd

-1 0

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

100 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-1 0

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Kvinder

100 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Kilde: Egne beregninger

Den aldersbetingede vægtning,

, af ændringen i mortalitetsindekset er langt

mere fluktuerende end den gennemsnitlige aldersbetingede dødelighed, hvilket

skyldes den korte dataperiode, jf. Figur 6.

Side 48 af 132

Figur 6. Estimerede og udglattede værdier for

b(x)

Mæ

0.04

Kvinder

0.03

0.02

0.01

-0.01

100

-0.01

Kilde: Egne beregninger.

For mænd betyder specielt den markant lavere vægtning af aldersklasserne 45-

55 år, at den loglineære aldersstruktur på sigt vil bryde samme, hvilket også vil

afspejle sig i analysen af fremskrivningsresultaterne. For kvinder er tendensen til,

at de procentvise årlige fald er størst for de laveste aldre og gradvist faldende

med alderen mere klar. Dette er dog ikke tilfældet for de yngre aldre op til 25 år,

hvor der er stor fluktuation og tilmed aldre, hvor ændringen er negativ, hvilket

betyder at dødeligheden for de pågældende aldersgrupper vil stige over tid.

Bruddet med Gompertz´ lov er mindre udtalt for kvinderne end for mændenes

vedkommende. Som nævnt i afsnit 4.3.2 er udglatning af

ingen garanti for,

at bruddet med Gompertz´ lov undgås, men tendensen mindskes.

4.6 Konstruktion af dødshyppigheder for de ældste ældre

Grundet relativt tyndt data for personer i alderen 100 år og ældre er det valgt

ikke at inkludere disse aldre i Lee-Carter estimationen ovenfor. Alternativt

modelleres udviklingen i dødshyppigheder for 100-120-årige ved at ekstrapolere

den fremskrevne alderstrend i dødeligheden for de 80-99-årige.

Aldersfordelte dødshyppigheder for 80-99-årige fremskrevet ved Lee-Carter

metoden, her benævnt

, transformeres indledningsvist som





�½











Side 49 af 132

Ved en simpel OLS estimation findes efterfølgende for hvert tidspunkt relationen

mellem de transformerede dødeligheder og alder, således at den estimerede

transformerede dødelighed for de 80-99-årige kan beskrives som

�½







Koefficientestimaterne anvendes nu enkelt til at konstruere estimerede

transformerede dødeligheder for de ældste aldersgrupper, som efterfølgende

kan retransformeres som

tx ,g

�½

 



exp





exp M

tx ,g

x ,g

Ekstrapolation af transformerede sandsynligheder sikrer dermed, at de

ekstrapolerede dødssandsynligheder,

, aldrig vil kunne blive større end 1

Tilgangen lider dog under den mangel, at der ingen relation er mellem de

ekstrapolerede sandsynligheder på tværs af fremskrivningsperioder. Således er

det som ved en fremskrivning anvendende Lee-Carter baserede estimater ikke

nødvendigvis tilfældet, at dødeligheden for en given aldersgruppe udvikler sig

monotont (hyppigst aftagende) over tid. For den aktuelle fremskrivning vil

dødeligheden for de ældste mænd således være stigende over tid ved ukritisk

anvendelse af ekstrapolationen.

Selvom risikogruppen, der eksponeres for dødsfald blandt de ældste ældre såvel

nu som i fremtiden, er relativt lille, kan problemet for den givne

dødelighedsfremskrivning afhjælpes ved at reducere det aldersinterval, som

estimationen baseres på. Det viser sig, at problemet for mænd kan elimineres

ved udelukkende at estimere på de logittransformerede dødeligheder for 89-99-

årige. Ved iterativt at reducere aldersintervallet og estimere alderstrenden, kan

det bemærkes, at

- størrelsen knyttet til estimationen aftager med reduktion

af aldersintervallet. For mænd opnås faldende dødelighed over tid således med

den konsekvens, at

reduceres fra 0,97 til 0,89, hvilket dog stadig indikerer et

fornuftigt fit.

4.7 Estimation og fremskrivning af dødsfald inden for de

første 10 levedage

Som anført skelnes der mellem spædbørnsdødelighed indtrædende hhv. de første

10 dage efter fødslen og dødsfald indtrædende den resterende del af første

leveår. Opdelingen er funderet i ønsket om at kunne fremskrive dødsfald for 0-

årige mere eksakt, hvilket søges opnået ved anvendelse af mere end én trend.

Logitestimation er en almindelig anerkendt tilgang for fastlæggelse af dødelighed for de ældste

ældre, jf. Booth H. & Tickle L. (2008).

Side 50 af 132

En historisk analyse af de to typer af dødsfald blandt 0-årige viser, at udviklingen

over tid ikke er ensartet. Ofte skal dødsfald umiddelbart efter fødslen tilskrives

specielle forhold, hvilket i højere grad er funderet i det enkelte individ end i

udviklingen i dødeligheden generelt. På denne baggrund kan det retfærdiggøres,

at netop denne type dødsfald ikke indregnes i Lee-Carter estimationen.

Idet dødssandsynligheden blandt 0-årige er specielt høj kort tid efter fødslen og

0-årige indvandrere primært kommer til landet efter denne periode, opnås ved

differentieringen en mere realistisk vurdering af dødsfald blandt indvandrede

spædbørn. Ved kun at betragte en enkeltstående dødelighed blandt 0-årige vil

der, grundet det høje bidrag fra helt nyfødte, alt andet lige være tendens til at

overvurdere dødsfald blandt indvandrede spædbørn

De historiske dødssandsynligheder for dødsfald inden for de første 10 levedage

beregnes ud fra formlen i (26) for årene 1990-2012

. Der uddrages ved

anvendelse af OLS en trend for udviklingen over tid i de logaritmisk

transformerede sandsynligheder. Denne ekstrapoleres lineært ved brug af de

estimerede koefficienter. Efterfølgende påføres fremskrivningen en eksponentiel

transformation, hvilket tilvejebringer de fremskrevne spædbørnsdødeligheder

Såvel faktiske som estimerede sandsynligheder for dødsfald blandt 0-årige er i

Figur 7 illustreret for hhv. dødsfald indtrædende inden for de første 10 levedage

og resterende dødsfald. For begge køn kan det bemærkes, at sandsynligheden for

at dø umiddelbart efter fødslen er ca. dobbelt så stor som sandsynligheden for

resterende dødsfald blandt 0-årige. Det kan også bemærkes, at trenden i de

seneste år ikke varierer betydeligt mellem de to typer af dødsfald, men at

estimationen baseret på hele dataserien dog vil give anledning til en ikke-parallel

udvikling af de fremskrevne hyppigheder. Den største gevinst ved opdelingen er

tilsyneladende en mindsket risiko for at overvurdere dødsfald blandt indvandrere.

Iht. afsnit 2.2.3 bør i overensstemmelse med definitionen af netop indvandrede ikke beregnes

dødsfald i indvandringsåret. Denne korrektion er ikke indført i årets fremskrivning, idet den ideelt

forudsætter modellering af oprindelsesafhængig dødelighed. Eftersom indvandringen fortrinsvis er

begrænset til aldersgrupper med lav dødelighed, vil manglende korrektion have minimal betydning.

I den aktuelle fremskrivning, vil annullering af dødelighed blandt netop indvandrede afstedkomme,

at befolkningen i år 2130 er ca. 100 personer større end i grundscenariet.

Data for spædbørnsdødelighed fordelt på dage inden for det første leveår vedrører flere

kalenderår, men det er her forsimplende antaget, at alle dødsfald indtrædende inden for de første

10 levedage vedrører samme kalenderår som de øvrige dødsfald blandt 0-årige. Data for dødsfald

fordelt på dage efter fødslen vedr. kun personer født i Danmark.

Idet sandsynligheden for spædbørnsdødelighed er meget tæt på nul, vil OLS estimation baseret

på en logittransformation (som anvendt i afsnit 4.6) resultere i stort set den samme udvikling som

den anvendte logtransformation giver anledning til.

Side 51 af 132

Figur 7. Hyppigheder for dødsfald indtrædende inden for de første 10 levedage

og for resterende 0-årige, faktisk og estimeret

Drenge

0.005

0.004

0.003

0.002

0.001

0.005

Piger

0.004

6E-18

1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 2090 2100

-0.001

0.001

1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 2090 2100

Inden for første 10 levedage - Faktisk

Inden for første 10 levedage - Estimeret

Inden for første 10 levedage - Faktisk

Inden for første 10 levedage - Estimeret

Resterende 0-årige - Faktisk

Resterende 0-årige - Estimeret

Resterende 0-årige - Faktisk

Resterende 0-årige - Estimeret

Anm.: Den lodrette streg angiver sidste dataår, her 2012.

Kilde: DST og Befolkningsfremskrivning 2013.

4.8 Resultater af fremskrivningen

De aldersbetingede dødeligheder er i Figur 8 illustreret for år 1900, år 2012, som

er det seneste år i dataserien samt for fremskrivningsårene 2050 og 2100. Der er

en udpræget tendens til, at dødeligheden på et givet tidspunkt vokser

eksponentielt med alderen og således udvikler sig iht. Gompertz’ lov.

Tendensen til at dødeligheden vokser med en fast procent for hvert alderstrin,

gælder i 2012 afhængigt af køn fra omkring 20- til 30-årsalderen og indtil omkring

90-95 års alderen. Det ses, at dødeligheden blandt personer, der er yngre end 30

år, historisk har haft en tendens til at være højere end den lineære (logaritmiske)

udvikling tilsiger. Særligt spædbørns- og småbørnsdødelighed har haft tendens til

at trække dødssandsynligheden op.

Den historiske udvikling i de aldersbetingede dødeligheder gennem det 20.

århundrede har indebåret, at dødelighederne er faldet mest for de yngre

aldersgrupper (spæd- og småbørnsdødelighed samt ungdomsdødelighed,

herunder død under barsel for kvinder). Faldet i dødeligheden har været mindre

for de ældre aldersgrupper. Udviklingen har betydet, at Gompertz’ lov gradvist

har haft tendens til at gælde for et stigende antal aldersgrupper.

Side 52 af 132

Figur 8. Aldersbetingede dødshyppigheder for mænd og kvinder, logaritmisk

skala

Mæ

0.1

100

0.1

100

Kvinder

0.01

0.001

0.0001

0.00001

0.000001

0.000000

1900

2012

2050

2100

0.000000

1900

2012

2050

2100

Anm.: Data fra år 1900 stammer fra HMD og således er opgjort på A-gruppe format i modsætning

til øvrigt data, der er opgjort på B-gruppe format.

Kilde: Befolkningsfremskrivning 2013, DST og Human Mortality Database (HMD).

De estimerede årlige reduktioner i den aldersbetingede dødelighed er generelt

positive for alle aldersgrupper, jf. Figur 6. Det betyder, at fremskrivningen over

tid vil føre til, at dødelighederne reduceres for alle aldersgrupper. Det ses, at for

både mænd og kvinder reduceres den aldersbetingede dødelighed frem mod år

2050 og år 2100.

For mænd i aldersgrupperne ca. 23-35 år og 50-60 år observeres i år 2050

stagneret eller faldende dødelighed ved stigende alder, jf. Figur 8. Fænomenet

forværres blot frem mod år 2100. Dette medfører et ganske markant brud på

Gompertz´ lov om, at dødeligheden vokser eksponentielt med alderen. For

kvinder ses samme tendens, omend mindre udtalt end for mænd. Det kan derfor

sluttes, at valget af den korte dataserie som udgangspunkt for fremskrivningen

har en negativ konsekvens for aldersstrukturen i dødeligheden sammenlignet

med serien fra år 2012.

Side 53 af 132

4.9 Udviklingen i dødeligheden for de enkelte aldersgrupper

Betragtes den historiske udvikling i den aldersbetingede dødelighed gennem det

20. århundrede, ses det, at der er betydelig forskel på det relative forhold mellem

aldersgrupperne over tid. Lee-Carter metoden indebærer, at den historiske

tendens forlænges således, at den fremskrevne fordeling af faldet i

dødelighederne svarer til den historiske udvikling. Betydningen af den valgte

estimationsperiode illustreres klarest ved at tage udgangspunkt i logaritmen til

dødeligheden for en given alder. Lee-Carter metoden implicerer, at den

fremskrevne udvikling i dødeligheden for en given aldersgruppe kan vurderes ud

fra trenden i dødeligheden gennem den valgte estimationsperiode.

Figur 9. Udviklingen i dødshyppigheder 1900-2050 for udvalgte aldre (10, 20, … ,

90, 99 år), mænd og kvinder, logaritmisk skala

Mæ

Kvinder

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

1900 1925 1950 1975 2000 2025 2050

0.00001

1900 1925 1950 1975 2000 2025 2050

0.00001

Anm.: Data fra år 1900-1989 stammer fra HMD og således er opgjort på A-gruppe format i

modsætning til øvrigt data, der er opgjort på B-gruppe format. Da dødeligheden er voksende med

alderen er udviklingen for 99-årige øverst, efterfulgt af 90-årige osv. Bemærk dog at for mænd

bliver dødeligheden for 30-årige lavere end dødeligheden for 20-årige i fremskrivningen.

Kilde: Befolkningsfremskrivning 2013, DST og Human Mortality Database (HMD).

I Figur 9 ses udviklingen i de aldersbetingede dødeligheder for henholdsvis mænd

og kvinder gennem det 20. århundrede for 10-årige, 20-årige, …, 90-årige og 99-

Side 54 af 132

årige. Dødelighederne for 99-årige ligger øverst, herefter følger de øvrige aldre i

faldende orden.

Figurerne for begge køn viser, som en overordnet tendens, at (logaritmen til)

dødeligheden er faldende for alle aldersgrupper, og at der på langt sigt er en

tydelig tendens til, at faldet er størst for de yngre aldersgrupper. Der er således

langt større spredning i dødelighederne ved indgangen til det 21. århundrede end

ved indgangen til det 20. århundrede. Herudover er det for begge køn en udbredt

tendens, at faldet i dødelighederne flader ud omkring 1950 og først for alvor

begynder at falde igen omkring 1995, jf. Figur 9.

For kvinder er der frem til omkring midten af 1930’erne en tendens til, at det kun

er de unge aldersgrupper, hvor der er fald i dødeligheden. Herefter falder

dødelighederne generelt i en periode frem til 1960’erne, hvor dødelighedsfaldet

aftager og gradvist ophører. Først omkring 1995 er der – ligesom hos mændene –

tendens til, at dødeligheden igen falder for alle aldersgrupper.

Af fremskrivningerne fremgår det, at Lee-Carter metoden fortsætter de enkelte

aldres udvikling siden 1990. Udtrykt logaritmisk fortsætter den procentvise

ændring siden 1990. For mænd medfører en videreførelse af den procentvise

reduktion, at strukturen i dødelighedsmønstret efter bare få år begynder at

bryde sammen, idet enkelte aldres dødeligheder forholdsvis hurtigt begynder at

krydse hinanden. Dette reflekteres også i aldersprofilerne i år 2050, jf. Figur 8.

Den historiske tendens til, at de senere års reduktion i dødeligheden er vokset

relativt, fremgår ligeledes af Figur 9, hvor det såvel for mænd som kvinder

gælder, at dødeligheden for 60-80-årige reduceres betydeligt.

4.10 Definition af restlevetid

Udviklingen i befolkningens dødelighedsmønster kan alternativt beskrives ved

udviklingen i restlevetiden for de enkelte aldersgrupper. Restlevetiden for en

given aldersgruppe afhænger af dødeligheden i alle ældre aldersgrupper.

Middellevetiden, hvilket er den normale betegnelse for restlevetiden for en 0-

årig, indeholder dermed information på en sammenvejet kompakt form om

dødeligheden i alle aldersgrupper. Udviklingen i middellevetiden er derfor en

måde, hvor på udviklingen i den samlede dødelighed kan udtrykkes.

I nærværende afsnit gennemgås fremgangsmåden for beregning af restlevetid.

Det vises i denne forbindelse, at den generelle tilgang, som er funderet i

traditionelle demografiske begreber er ækvivalent med en simplere og mindre

regnetung fremstilling. Slutteligt vises det, at begge udtryk er konsistente med en

intuitiv udlægning af restlevetidsbegrebet.

Side 55 af 132

4.10.1 Sædvanlig fremgangsmåde for beregning af restlevetid i

dødelighedstavler

I det følgende anvendes i tråd med den klassiske notation betegnelsen

for

de køns- og aldersfordelte dødssandsynligheder. Sandsynligheden for at overleve

fra alder

til

x+1

er givet ved

�½



Indledningsvist beregnes en fælles dødssandsynlighed for 0-årige baseret på

hyppighederne knyttet til død inden for de første 10 levedage,

, og de

resterende dødsfald for 0-årige,

�½









Sandsynligheden for at dø som 0-årig er dermed givet som sandsynligheden for

at dø indenfor de første 10 levedage tillagt produktet af sandsynligheden for at

overleve de første 10 levedage og sandsynligheden for at dø efter de 10 første

dage.

Antag at parameteren



udtrykker den gennemsnitlige andel af året, der

gennemleves af de, der dør. Det antages sædvanligvis, at dødsfald for både

x ,g

mænd og kvinder sker jævnt fordelt over året, hvorfor



= 0,5 for

> 0. For 0-

årige er der dog tendens til, at den gennemlevede del af året er blot ca. 10 %,

hvor piger desuden kan forventes at gennemleve en større del af første leveår

end drenge. For drenge anvendes



0,dreng

= 0,111, mens størrelsen for piger er



pige

= 0,112.

2324

En person, der fiktivt gennemlever hele sin livscyklus i periode

vil have

sandsynlighed

for stadig at være i live ved alder

defineret ved









(21) kan omskrives til

(21)

Jf. Danmarks Statistik, Befolkningens bevægelser 2001 s. 243. Størrelserne varierer årligt, men

ændringerne har blot marginal betydning. Fastholdelse af disse konstanter relativt til sidste

befolkningsfremskrivning muliggør en sammenligning mellem middellevetiderne, hvor forskelle

ikke kan tilskrives ændringer i denne konstant.

Idet tilpasning til middellevetiden under Lee-Carter estimationen, jf. afsnit 4.2 grundet

udeladelsen af dødsfald inden for de første 10 levedage i realiteten er en tilpasning til den

forventede restlevetid for en 0-årig, der har overlevet de første 10 levedage, anvendes der i stedet

λ = 0,3 for begge køn. Givet man med sikkerhed overlever de første 10 levedage, men dør inden

den næste fødselsdag, kan man altså regne med at leve næsten en tredjedel af året. λ reduceres

således markant ved udeladelsen af den høje dødelighed inden for de første 10 levedage.

Side 56 af 132











(22)

For en fiktiv initialbefolkning,

0,g

= 100000, kan (21) alternativt udtrykke det

antal personer, der overlever til alder

Ud af disse vil antallet

dø før de

fylder

+ 1 år, dvs.













(23)

Det forventede antal personår,

, der leves i aldersintervallet

[



defineret som





(24)

hvilket netop er sammensat af de, der overlever til alder x + 1 og produktet af

den forventede del af året, der gennemleves af de, der dør og antallet af dødsfald

gennem aldersintervallet.

Det forventede antal tilbageværende personår for individer med alder

t x ,g

fås netop som summen af det forventede antal personår for hvert af de

efterfølgende aldersintervaller, dvs.

x ,g



s ,g

s= x



hvilket i praksis baseres på eksistensen af en maksimal levealder

og derfor kan

formuleres som

x ,g



s ,g

s= x

(25)

Med udgangspunkt i ovenstående kan en person med alder

forvente at kunne

leve yderligere i

tx ,g

år defineret som forholdet mellem det samlede antal

forventede tilbageværende personår delt med det antal personår, der er i live

med alder

x ,g

t x ,g

�½

x ,g

(26)

Man kan forstå dette som, at det samlede antal tilbageværende leveår skal

fordeles blandt de medlemmer af populationen, der stadig er i live ved den givne

alder. Udtrykket i (26) er netop det traditionelle udtryk for den på tidspunkt

forventede restlevetid for personer af køn

med alder

Side 57 af 132

4.10.2 Alternativ beregning af restlevetid

Det kan vises, at (26) under antagelse om eksistens af en maksimal levealder

helt ækvivalent med formuleringen af restlevetiden for alder

på tid

udtrykt

som

�½















(27)

Den alternative formulering er praktisk, idet den reducerer antallet af

mellemregninger betragteligt. Indsættes (24) og (25) i (26) fås

�½







�½













(28)

(21) og (23) giver nu, at

�½













�½



















(29)









Benyt igen (24), (25) samt (21) og (26) og få (27)

�½











�½





















�½

















t x



g x



For ethvert tidspunkt,

kan restlevetiderne dermed beregnes iterativt efter

ovenstående formel. Bemærk, at med antagelsen om eksistensen af en maksimal

levealder

vil det gælde, at

�½

for alle aldre



. I nærværende rapport

Side 58 af 132

er restlevetiden beregnet ved anvendelse af en maksimumalder på 110 år, dvs.

110,

�½

Udtrykket ovenfor forstås givetvist bedst ved at se på de ekstreme tilfælde, hvor

dødeligheden

måtte være henholdsvis 0 og 1. Såfremt individet dør på

tidspunkt

svarende til

�½

, da vil restlevetiden for den pågældende

aldersgruppe være et halvt år, idet det antages, at man dør ligeligt fordelt over

året. Hvis individet overlever til næste tidsperiode, svarende til

�½

, da kan

det se frem til at leve yderligere et år tillagt restlevetiden for en et år ældre

aldersgruppe.

4.10.3 Intuitiv formulering af restlevetid

Udtrykket i (27) er enkelt at beregne, men er måske ikke specielt intuitivt med

undtagelse af ekstremtilfældene. Generelt kan man tænke på forventet levealder

som det hele antal år man kan forvente at gennemleve, dvs. som







hvilket gælder for hvert køn og tidspunkt (pågældende indeks er her undertrykt

for at lette notationen).

x ,s

angiver ovenfor sandsynligheden for at overleve fra

alder

til

, mens



angiver sandsynligheden for at dø mellem alder

+ 1. Eftersom alderen rundes ned til nærmeste hele fødselsdag, vil et

individ generelt leve en hvis andel af året efter den sidste fødselsdag. Dette er

netop udtrykt ved variablen



ovenfor (i det følgende betegnet



) og den

samlede restlevetid for en given alder

, kan derfor udtrykkes som













(30)

Det kan vises, at (30) er ækvivalent med (26). Substitution af

ovenfor giver

sammen med definitionen



= 1



, at

Ved tilpasning til middellevetiden i Lee-Carter estimationen, jf. afsnit 4.2, anvendes en maksimal

levealder på 100 år, da estimationen som nævnt kun omfatter data for 0-99-årige.

Side 59 af 132







































































































































































































































Ved anvendelse af (22), (24) og (25) haves, at ovenstående kan skrives som

Side 60 af 132































































s s





s s





























hvilket jo netop er identisk med (26).

Definitionen af restlevetiden illustrerer tydeligt afhængigheden mellem

restlevetid for aldersgruppe

og dødeligheden for aldersgrupperne

og ældre.

Samtidig kan det bemærkes, at udviklingen i restlevetiden i kraft af værende en

ikke-lineær transformation af dødelighederne, vil være præget af antagelsen om

en eksponentiel udvikling i sidstnævnte.

Det skal samtidig præciseres, at forventet restlevetid er et demografisk begreb,

der ikke relaterer til, hvor gamle eksisterende personer forventes at blive.

Begrebet giver et stationært billede af, hvilken alder et fiktivt individ, der

gennemlever hele sin livscyklus i tidsperiode

kan forventes at blive.

Det kan bemærkes, at en konstant årlig reduktion i logaritmen til de

aldersbetingede dødeligheder, som er resultatet af en fremskrivning med Lee-

Carter, vil have tendens til at føre til en faldende vækst i middellevetiden. Det

skyldes, at dødelighedernes niveau gradvist reduceres, hvilket betyder, at

reduktionen i antallet af døde især koncentreres i de højere aldre, hvilket ikke

giver en tilsvarende stigning i ekstra leveår som en reduktion i dødeligheden

blandt unge. Middellevetidsvæksten vil derfor have en tendens til at være

Side 61 af 132

faldende over tid, jf. Lee (2000). Dette betyder, at Lee-Carter metoden ikke

reproducerer den lineære stigning i middellevetiden, som findes i Oeppen &

Vaupel (2002).

4.11 Restlevetidsudviklingen for mænd

Restlevetidsudviklingen for mænd i aldersgrupperne 0, 10, …, 90, 100 år fra

1836

og fremefter fremgår af Figur 10. Da restlevetiden netop er en

sammenvejning af dødelighederne på et givet tidspunkt, vil brud i trenden i

dødelighederne indebære et tilsvarende brud i udviklingen i restlevetiden. Derfor

er der i den historiske udvikling i mænds restlevetid to tydelige brud svarende til

de brud, der blev identificeret i udviklingen i dødelighederne.

Figur 10. Restlevetidsudviklingen for mænd, udvalgte aldersgrupper

100

0-årige

10-årige

20-årige

30-årige

40-årige

50-årige

60-årige

70-årige

80-årige

90-årige

100-årige

1836

1856

1876

1896

1916

1936

1956

1976

1996

2016

2036

2056

2076

1846

1866

1886

1906

1926

1946

1966

1986

2006

2026

2046

2066

2086

Anm.: Restlevetider for årene 1836-1990 er beregnet ud fra dødeligheder fra HMD opgjort på A-

gruppe format og medioficeret over tid. Restlevetid for år t og alder a er beregnet ud fra

dødelighederne for alder a på tidspunkt t-1 og t. Restlevetider for 1991 og frem er beregnet med

afsæt i dødelighedsdata fra DST opgjort på B-gruppe format og medioficeret over både alder og tid.

Restlevetid for år t og alder a er beregnet ud fra dødelighederne for alder a og a + 1 på tidspunkt t-1

og t. Dateringen anvendt i figuren henviser til sidste kalenderår anvendt til medioficeringen.

Den lodrette streg angiver sidste rene dataår, dvs. 2012 (2011:2012).

Kilde: Befolkningsfremskrivning 2013, DST og Human Mortality Database (HMD).

Den historiske udvikling i restlevetiden for mænd kan derfor opdeles i tre adskilte

perioder karakteriseret ved forskellige vækstrater for alle aldersgrupper.

Dateringen dækker over restlevetid baseret på dødeligheder medioficeret over årene 1835 og

1836 iht. fremgangsmåde beskrevet i afsnit 3.2.

2096

Side 62 af 132

Den første periode indtil 1953 er karakteriseret ved en betydelig vækst i den

mandlige restlevetid. Vækstraten er stort set den samme for alle aldersgrupper

fra 10-årige og derover. For disse aldersgrupper ligger væksten på ca. 0,3 pct. pr.

år. Målt absolut er væksten i restlevetiden derfor aftagende med alderen.

Således aftager den gennemsnitlige årlige vækst i perioden 1836-1953 fra 3,3

måneder pr. år for 0-årige til 1,5 måneder for 20-årige, hvorefter den falder

gradvist med stigende alder. Middellevetidsudviklingen skiller sig ud på grund af

et betydeligt større fald i spædbørnsdødeligheden end i dødeligheden for de

øvrige aldersgrupper. Stigningen i middellevetiden er derfor omkring 30 pct. i

perioden fra 1904 til 1953, eller omtrent dobbelt så høj en vækst som de øvrige

aldersgrupper. Udviklingen svarer til en gennemsnitlig årlig stigning i

middellevetiden på små 4 måneder. Det bemærkes, at der for de yngre

aldersgrupper er et betydeligt knæk i væksten omkring 1918, hvilket skal

tilskrives den spanske syge. For 60-årige stiger restlevetiden med gennemsnitligt

0,6 måneder om året fra 1904-1953.

Den anden periode – lavvækstperioden – strækker sig fra omkring 1953 til 1995. I

denne periode er der stort set ikke vækst i restlevetiden for aldersgrupperne fra

10 til 60 år. Vækstraten over hele den 40-årige periode ligger på omkring 1,2-2,0

pct. for disse aldersgrupper. Selvom der også er en meget betydelig opbremsning

i væksten i middellevetiden, er vækstraten i denne små 5 pct. over den godt 40-

årige periode, hvilket svarer til en gennemsnitlig årlig vækst på lidt under en

måned. Restlevetiden for 60-årige stiger gennemsnitligt med 0,1 måneder årligt

over perioden.

Den tredje og sidste periode er den nuværende og strækker sig foreløbigt fra

1995 til 2012. I denne periode er restlevetiden for alle aldersgrupper vokset mere

end i den foregående periode, selvom den foregående periode strækker sig over

en årrække, som er ca. 3 gange så lang. Det er endvidere bemærkelsesværdigt, at

strukturen i væksten er ændret, således at der nu er en meget tydelig tendens til,

at vækstraterne er størst for de ældre aldersgrupper. Middellevetiden for mænd

er således vokset med 7,0 pct. siden 1995, restlevetiden for 20-årige mænd med

8,9 pct. og restlevetiden for 60-årige mænd med 20,3 pct. Forskellene i

vækstraten betyder, at der kun er begrænsede forskelle i den absolutte vækst for

de forskellige aldersgrupper. Således er restlevetiden for en 20-årig mand vokset

med 4,8 år over perioden, mens restlevetiden for en 60-årig mand er vokset med

3,6 år. Gennemsnitligt er middellevetiden vokset med 3,6 måneder om året,

mens restlevetiden for 60-årige er vokset med 2,5 måneder årligt.

På basis af de internationale sammenligninger er der ligeledes belæg for, at

restlevetidsudviklingen for mænd igennem de sidste 100 år kan opdeles i tre

faser. Den første fase er karakteriseret ved høj og relativt ensartet vækstrate for

aldersgrupperne

bortset

fra

ekstraordinært

stort

fald

spædbørnsdødeligheden. Den næste fase er karakteriseret ved stort set 0-vækst

for de fleste aldersgrupper, men dog lidt vækst i restlevetiden for ældre og et

forsat, men begrænset fald i spæd- og småbørnsdødeligheden. Den tredje fase er

Side 63 af 132

karakteriseret ved høj vækst for alle aldersgrupper og en tendens til, at

vækstraten i restlevetiden er højest for de ældre aldersgrupper. Der henvises til

DREAMs Befolkningsfremskrivning 2006 for en international sammenligning af

restlevetid.

4.12 Restlevetidsudviklingen for kvinder

Svarende til beskrivelsen for mænd fremgår restlevetidsudviklingen for kvinder i

aldersgrupperne 0, 10, …, 90, 100 år fra 1836 og fremefter af Figur 11.

Udviklingen i dødelighederne for kvinder kan opdeles i fem adskilte perioder,

som ikke er helt så markante som i mændenes tilfælde. De fem perioder

genfindes (på samme måde som hos mændene) i udviklingen i den

aldersbetingede restlevetid for kvinder.

Figur 11. Restlevetidsudviklingen for kvinder, udvalgte aldersgrupper